Einführung des Begriffs Ableitung
D. Koller

 
Didaktische Aspekte

Beschreibung

Der Ableitungsbegriff wird in vielen Fällen auf dem Weg über das Tangentenproblem eingeführt. Dies führt dazu, dass sich diese geometrische Vorstellung bei den Schülern verfestigt und oft mit dem Ableitungsbegriff gleichgesetzt wird.

Mit Blick auf Anwendungen und als Weiterführung der Simulation von dynamischen Vorgängen in Sek I sollte der Ableitungsbegriff aus dem Änderungsverhalten von Größen abgeleitet werden. Als Aufhänger dient im folgenden die Frage nach der Wachstumsgeschwindigkeit einer Fichte im "Alter von 10 Jahren" . Dabei wird die Entwicklung des Stammdurchmessers betrachtet und von einer Visualisierung dieses Wachstums ausgegangen.

Methodische Hinweise

- Das Arbeitsblatt will eine mögliche Schrittfolge im Unterricht darstellen. Dabei wird das mathematische Modell für das Stammwachstum bereits als Funktionsterm vorgegeben. Zu erläutern ist, dass dieses Modell das Ergebnis einer Anpassung an Messdaten sein kann. Der Term kann auch als Exponentialfunktion mit Basis 2 dargestellt werden, wenn man auf die Vorkenntnisse an bekannten Funktionen Rücksicht nehmen möchte. Nach meiner Meinung ist dies bei konsequentem Einsatz eines CAS jedoch unnötig.

- Bei Einsatz eines CAS werden Funktionen, die durch Term gegeben sind, zunächst visualisiert. Der nächste Schritt ist die Bestimmung spezieller Funktionswerte. Diese liefert hier jedoch nur lokale Werte des Stammdurchmessers und beantwortet nicht die gestellte Frage nach der Wachstumsgeschwindigkeit.

- Der Begriff Wachstumsgeschwindigkeit wird i.a. an dieser Stelle noch nicht bekannt sein. Der Versuch, ihn inhaltlich zu klären, führt zunächst auf eine mittlere Wachstums-geschwindigkeit (falls bekannt auch auf den Begriff der "Änderungsrate im Zeitintervall D t).

- Da nicht von einem konstanten Wachstumsverhalten im Intervall [ t ; t + D t ] ausgegangen werden kann, wird D t verfeinert, und zwar zunächst manuell (auf 3 Nachkommastellen) und dann mit erhöhter Genauigkeit durch eine Wiederholungssschleife. Zu klären ist dabei, dass die erhöhte Genauigkeit einer Eigenschaft des Modells und nicht einer der Ausgangsdaten entspricht.

Im Unterricht müssen nun weitere, analoge Situationen zur Bestimmung von momentanen Änderungsraten (Ableitungen) bearbeitet werden, dies vor allem, bevor man zur üblichen Visualisierung mittels Sekanten und Tangente übergeht. Dies soll verhindern, dass die Ableitungs- und die Tangentendefinition vermischt werden.

Beispiel FICHTE
Das Wachstum des Stammdurchmessers einer Fichte sei durch folgende Funktion beschrieben:

d:=t->1/(1+exp(-0.05*(t-60)));

a) Verschaffe dir einen Überblick über das "Wachstum" des Stammdurchmessers der Fichte in den ersten 200 Jahren.
 
 

b) Beschreibe das Wachstum des Stammdurchmessers der Fichte in Worten.
Was gibt d(20), d(200), d(0) an?
Wann ungefähr wächst die Fichte am schnellsten?

c) Wie schnell wächst die Fichte im Alter von 10 Jahren? Beantworte diese Frage, indem du die mittlere Wachstumsgeschwindigkeit im Zeitraum [10;11], [10;10,1], [10;10,01], ..... betrachtest.

> Digits:=7;
> (d(11)-d(10))/1; 
> (d(10.1)-d(10))/0.1; 
> (d(10.01)-d(10))/0.01; 
> (d(10.001)-d(10))/0.001; 
> ...... ???

 

d) Führt Dein Verfahren zu einen Grenzwert?
Erhöhe, um deine Vermutung zu untermauern, die Zahl der ausgegebenen Stellen.

> Digits:=20; for i from 1 to 10 do D t:=10^(-i);(d(10+D t)-d(10))/ D t;od;

Was würdest du aufgrund deiner Ergebnisse als Wachstumsgeschwindigkeit im Alter von 10 Jahren bezeichnen?

e) Das oben angewendete Verfahren kann auch unabhängig von der konkreten Deutung als mittlere bzw. momentane Wachstumsgeschwindigkeit durchgeführt werden. Bei einer Funktion x -> f(x) nennt man den Term

mittlere Änderungsrate von f im Intervall [x ;x + D x]

oder Differenzenquotient von f im Intervall [x ;x + D x] .
 
Falls der Grenzwert des Differenzenquotienten von f im Intervall [x ;x + D x] für 
D x ® 0 existiert, nennt man ihn momentane Änderungsrate von f (an der Stelle x) 

oder Ableitung von f an der Stelle x . Man schreibt dafür f (x) .

 
Wie ist somit formal die Ableitung von f an der Stelle x definiert?

f) Bestimme die mittlere Änderungsrate von d im Zeitintervall [11,6; 11,9].
Wie groß ist die momentane Änderungsrate von d zur Zeit t = 11,7 ?

g) Wie groß ist die Ableitung von d an der Stelle t = 11,7 ?
 Wie groß ist die Ableitung von d an der Stelle t ?

h) Erkläre die folgenden Maple-Anweisungen. Was ist das Ergebnis dieser Anweisungen?

> restart;
> df1:=x->limit((f(x + dx) - f(x)) / dx , dx=0);

Beispielfunktion

> f:=x->x^3-10*x;
> df1(5);
> df1(x);
 
Welches Ziel verfolgen insbesondere die folgenden Anweisungen ? 

> df1:=unapply(df1(x) , x ); 
> plot([f(x),df1(x)],x=-5..5); 

 

  • i.)Stelle den Verlauf der Werte d(t) im Bereich [0 ; 200 ] graphisch dar.

  • Welche Bedeutung hat d(0) , d(2) ?

    Interpretiere den Verlauf von d in bezug auf den Verlauf von d .



    Weiterführung (Visualisierung des Ableitungsbegriffs)

    Die mittlere Änderungsrate einer Funktion f im Intervall [x0 ; x1] gibt die Steigung der Sekante an die Kurve y = f(x) zwischen den Punkten (x0 / f(x0) ) und (x1 / f(x1) ) an.

    Der Weg von der mittleren Änderungsrate zur momentanen Änderungsrate (der Ableitung) lässt sich veranschaulichen durch eine Animation, wobei die Sekante durch Annäherung von x1 nach x0 in die Tangente der Kurve im Punkt (x0 / f(x0) ) übergeht.

    Mit Maple lässt sich diese Visualisierung leicht bewerkstelligen und kann auch von geübten Schülern geleistet werden:

    Gleichung der Sekante zwischen den Stellen x0 und x1:
    > sekante:=(y-f(x0))/(x-x0)=(f(x0)-f(x1))/(x0-x1);
    > sekante:=isolate(",y);

    Bis hierher bezeichnet der Name "sekante" eine Gleichung, im nächsten Abschnitt machen wir daraus eine Funktion in den Variablen x0 und x1 .

    > sekante:=unapply(rhs(sekante),x0,x1);

    Wir führen die Annäherung als Beispiel für die Stelle x0 = 1,5 durch :
    > x0:=1.5;
    > with(plottools,point):
    > xfolge:=seq(x0+0.8^i,i=-3..22);
    > S:=seq(plot([f(x),sekante(x0,xi)],x=-4..4),xi=xfolge):
    > display(S,insequence=true,view=[-4..4,-20..20]);

     
     
    Sekanten mit Schnittpunkten: 

    > T:=seq(point([x3,f(x3)],color=blue, symbol =box),x3=xfolge): 

    > t:=showtangent(f(x),x=x0, x =- 4..4,colour=red): 

    > display({S,T,t},view=[-4..4,-20..20]);


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     aufbereitet fürs Internet: Roland Bernert