Differentialgleichungen: Ein methodischer Vorschlag
D. Koller

Didaktische Aspekte

Beschreibung

Ohne die Behandlung von Differentialgleichungen bleibt jeder Analysiskurs unvollständig. Die Integralrechnung ermöglicht den Schluß von der (bekannten) Ableitungsfunktion auf die (unbekannte) Stammfunktion bzw. anwendungsorientiert von der momentanen Änderungsrate auf den Bestand. In vielen Fällen sind jedoch nur Beziehungen zwischen der momentanen Änderungsrate und dem Bestand bekannt (Differentialgleichungen).

Methodische Hinweise

Im folgenden wird ein Vorschlag beschrieben, wie sich Anwendungsaufgaben zum Thema Differentialgleichungen in vielen Fällen unterrichtlich aufbereiten lassen. Wesentlich sind die Phasen der Problemexploration (ohne Rechnung), der Visualisierung und der Rückbesinnung.

Die angeführten Maple-Anweisungen zeigen, daß der formale Aufwand recht gering ist. Schwerpunkt jeder Bearbeitung ist der Mathematisierungsprozeß. Dazu sind in aller Regel bestimmte Modellannahmen zu machen, so in unserem Fall in Teilaufgabe b), dass die Flüssigkeit zu jedem Zeitpunkt vollständig durchmischt gedacht wird. Die Schülerinnen und Schüler sind deshalb zu einer ausführlichen Dokumentation ihrer Gedanken anzuhalten.
 

Aufgabe: Salztank

Ein Tank enthält anfänglich 1000 l reines Wasser. Mit einer Rate von 10 l pro Minute fließt eine Salzlösung zu, bei der pro Liter 200 g Salz gelöst sind. Gleichzeitig fließen pro Minute 10 l der Salzmischung wieder aus.

a) Wie wird sich der Salzgehalt im Tank zeitlich entwickeln? Stelle Deine Vermutung in einer groben Skizze dar. Wird die Verlaufskurve eine horizontale Asymptote haben?

b) Es sei q(t) der Salzgehalt im Tank nach t Minuten. Bestimme die Änderungsrate q'(t) des Salzgehalts: Das ist die Rate, mit der Salz in den Tank gelangt abzüglich der Rate, mit der Salz den Tank wieder verläßt. Du erhältst damit eine Differentialgleichung, deren Lösung wir suchen.

> dgl:=diff(q(t),t)=2-(10/1000)*q(t);

c) Zeichne ein Richtungsfeld (dfieldplot) für Deine Differentialgleichung. Welchen Typ von Lösungskurven kannst Du daraus ablesen. Welches sind die Isoklinen ?

> with(DEtools):
> dfieldplot(dgl,q(t),t=0..300,q=0..200);

d) Wie groß ist q(0) ? Löse damit das Anfangswertproblem (dsolve). Zeichne Deine Lösung und vergleiche sie mit Deiner anfänglichen Vermutung.

> aw:=q(0)=0;
> l:=dsolve({dgl,aw},{q(t)});
> plot(rhs(l),t=0..500);

e) Wie groß ist der Salzgehalt im Tank nach einer Minute, nach einer Stunde ? Wie lange dauert es, bis der Salzgehalt im Tank 10 kg beträgt.

> evalf(subs(t=1,l));evalf(subs(t=60,l));
> fsolve(rhs(l)=10);
>
 
  


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 aufbereitet fürs Internet: Roland Bernert