Mehrstufige Prozesse
Lehrerfortbildung CAS 1997/98, G. Dopfer

1. Für die Glühbirnen einer Fabrikhalle werden folgende Ausfallquoten beobachtet:
 
Woche i
1
3
4
5
Ausfälle bis Ende der Woche in %
10 
25
50
80
100
Am Ende jeder Woche werden alle ausgefallenen Glühbirnen ersetzt.

( E. Endres, Geänderte Fragestellungen im Leistungsfach Mathematik ab dem Abitur 1997)

Es sei gi die Anzahl der Glühbirnen, die bereits die i-te Woche brennen. Für die Folgewoche ist

(Ersatz ausgefallener Glühbirnen)

(Übergang aus der 1-ten Woche)

(Übergang aus der 2-ten Woche)

(Übergang aus der 3-ten Woche)

(Übergang aus der 4-ten Woche)

Dieses Gleichungssystem läßt sich in Matrizendarstellung schreiben: ()

Die Vektoren  und  beschreiben Zustände. Die Matrix A beschreibt den Übergang von dem Zustand  in den Zustand  (Übergangsmatrix).

 

a) Geben Sie die Matrix A ein berechnen Sie die Zustände nach der 1, 2, 3, ... Woche, wenn mit dem Zustand Start begonnen wird.

b) Versuchen Sie herauszufinden, ob sich nach Wochen ein stabiler Zustand einstellt.

2. Der Maikäfer entwickelt sich in vier Stadien. Im Juni legt das Weibchen etwa 60 Eier und stirbt bald darauf. Im Juli schlüpfen die Larven (Engerlinge). Nach einem Jahr lebt von diesen noch ein Drittel, nach zwei Jahren von diesen wiederum noch ein Fünftel.. Nach drei Jahren verpuppen sich die Larven. Ein Viertel davon wird zu weiblichen Käfern, die noch in der Erde überwintern und im Juni ins Frei kommen.(Sigma, Analytische Geometrie, Klett)

 

Im Juli gibt es neu geschlüpfte Larven, einjährigen Larven, zweijährigen Larven und Larvenpuppen die zu weiblichen Käfern werden. Für diese Entwicklungsstadien gilt nebenstehende Beziehung.

Untersuchen Sie mit den angegebenen Startwerten die Population für die ersten 8 Jahre.

3. Die Entwicklung von Säugetieren kann durch die Übergangsmatrix A beschrieben werden. Bestimmen Sie a, b und v so, daß sich bei den angegebenen Startwerten die Population nach einem Jahr (nach zwei Jahren) reproduziert.


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Aufbereitet fürs Internet: Roland Bernert