Einführung des bestimmten Integrals
(Lehrerfortbildung CAS 1997/98  / Dopfer)


A   Die Funktion x -> x^2

1. Für den Flächeninhalt unter der Kurve zwischen a = 1 und b = 3 soll ein Näherungswert bestimmt  werden.
a) Die Unterteilung in 4 Streifen gleicher Breite wird per Hand (Taschenrechner) ausgerechnet (Ergebnis: 6,75 < A < 10,75) und mit Maple nachgerechnet.

b) Die Unterteilung wird für a = 1 und b = 3 verfeinert. Rechnung erfolgt mit Maple. 2. Verallgemeinerung: n, a, b (a <= b) beliebig. Rechnung erfolgt mit Maple. Bei den beiden Ausdrücken RS und LS kann ohne Maple der Grenzwert n -> Unendlich bestimmt werden zu jeweils 1/3*(b^3-a^3). Maple liefert: B  Für die Funktionen x -> x^3, x -> x^4, .... muß  die Funktion geändert werden.
Rechnung erfolgt mit Maple C  Die Ergebnisse führen zur Vermutung des Hauptsatzes. Beweis per Hand!

D Die Funktion x -> 1/x Anregungen
    a) Näherungswert für die Fläche unter der Kurve von a=1 bis b=3
         Für n = 4 wird per Hand (Taschenrechner) gearbeitet. Ergebnis 19/20<A< 7/60
    b) Nachrechnen mit Maple liefert

 c) Mit Maple kann z. B. eine Wertetabelle der Flächeninhaltsfunktion erstellt werden,  indem für verschiedene obere Grenzen b der Wert von  LS und RS berechnet wird.
  d) Für welche Zahl b hat die Fläche den Inhalt 1?
     Die obere Grenze b wird Dezimale um Dezimale durchgetestet, um  einen  Näherungswert für e zu bekommen.
      Wenn RS > 1, ist die Grenze zu groß. Wenn LS < 1, ist die Grenze zu klein. e) Die Identifizierung mit der ln-Funktion erfolgt per Hand in der üblichen Weise. Maple reagiert so:
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Aufbereitet fürs Internet: Roland Bernert