Computer-Algebra-Systeme Herausforderung und Chance
H.-W. Henn, W. Jock, D. Koller, R. Reimer


Mathematikunterricht im Umbruch

Es wird wieder einmal von einer Krise des Mathematikunterrichts gesprochen. Unter anderem liefern die Heymannsche Habilitationsschrift "Allgemeinbildung und Mathematik", in der Presse oft unvollständig und damit falsch mit dem Satz "sieben Jahre sind genug" zitiert, und die für Deutschland nicht gerade schmeichelhaften Ergebnisse von TIMSS derzeit den Anlass für eine bundesweite Diskussion über die Ziele und Inhalte des Mathematikunterrichts. Eigentliche Ursache dieser Diskussion scheinen jedoch eher veränderte Vorstellungen der Gesellschaft über die Ziele einer schulischen Bildung und die besonderen Herausforderungen zu sein, mit denen sich die Wirtschaft konfrontiert sieht. Heute sind es sogenannte Schlüsselqualifikationen, welche die Ziele bestimmen, und mit ihnen die neuen Technologien, die in die Schule drängen. Und es sind heute auch Wirtschafts- und Technologieberater, welche die curricularen Entwicklungen mitprägen.

Unstrittig ist, dass sich die Schule mit den neuen Technologien auseinandersetzen muss. Es geht dabei nicht um Pro oder Contra - für uns Lehrer besteht keine Alternative im Sinne eines "ja oder nein" - sondern es geht um ein "mehr oder weniger". Wir müssen die didaktischen Fragen des "wozu und wie" beantworten. Grundsätzliche Entscheidungen werden auf politischer Ebene getroffen bis hin zum Europarat, der zum Beispiel den Auftrag zur Einführung neuer Technologien für seine Mitgliedsländer schon im Herbst 1983 veröffentlicht hat. Die Ergebnisse von TIMSS haben die Bund-Länder-Kommission bewogen, bundesweit umfangreiche Reformmaßnahmen in den kommenden Jahren zu ergreifen.

Warum ist eine Reform nötig?

Während die Meinungen über mögliche Änderungen kontrovers sind, ist man sich über die Defizite des derzeitigen Mathematikunterrichts weitgehend einig. Der Unterricht ist zu sehr von Formeln und Kalkülen geprägt, die zum Teil von unseren Schülerinnen und Schülern ohne jede Einsicht angewandt werden. Viele können eine Funktion ableiten, wissen aber nicht, was man unter einer Ableitung versteht. Das Schlagwort von der "(n+1)-ten Kurvendiskussion" möge zur Verdeutlichung genügen. Oft sind Schülerinnen und Schüler lediglich am Rezept interessiert, und dieses Rezept ist vom Lehrer so darzubieten, dass die zugehörigen Aufgaben möglichst ohne geistige Anstrengungen bewältigt werden können. Prof. Steinberg, Oldenburg, spricht in diesem Zusammenhang von einem "Bringschuld-Verhalten" der Schüler.

Unsere Schülerinnen und Schüler nehmen so ein völlig falsches Bild der Mathematik von der Schule mit. Analysis wird mit Kurvendiskussion, Geometrie mit Untersuchungen über Inzidenzprobleme bei Ebenen und Geraden im Anschauungsraum gleichgesetzt. Mitverantwortlich für diese Misere ist ein zu hoher Anteil an lehrerzentriertem, fragend-entwickelndem Unterricht in Verbindung mit entsprechenden Aufgaben. Bei diesen ist die sehr detaillierte Auflistung von Aufträgen auffallend, deren Bearbeitung kaum Eigeninitiative verlangt. Die Korrektur kann häufig mit "r" oder "f" erledigt werden.

In einer sich immer rascher verändernden Gesellschaft mit zunehmend komplexeren Strukturen werden aber bestimmte Schlüsselqualifikationen immer bedeutsamer, insbesondere

Diese Qualifikationen sind eine Auswahl, für die weitgehend Konsens besteht. Wie bei allen Zielen des Unterrichts, besonders aber bei so globalen, übergreifenden Zielen, ist der Weg dahin lang und enthält viele Alternativen. Die Auswahl des Weges ist eine methodische Frage.

Computer-Algebra-Systeme (CAS)

Klassische Medien und Werkzeuge des Unterrichts wie Schulbücher, Modelle und Foliensätze wurden und werden immer im Hinblick auf schulische Bedürfnisse entwickelt. Die jeweils neuen Technologien jedoch begannen in der Schule oft mit einem Fehlstart. Die Didaktik hinkte meistens hinterher. Man erinnere sich an den Taschenrechner, der nicht für die Schule erfunden wurde, dort aber zu intensiven Diskussionen über den Stellenwert der manuellen Rechenfertigkeiten geführt hat. Das Aufkommen der Computer in den 60er Jahren machte zunächst diesen zum Gegenstand des Interesses und des Unterrichts.

Eine neue didaktisch-methodische Dimension wird durch die Möglichkeiten der Computer-Algebra-Systeme eröffnet. Ein Computer-Algebra-System kann beispielsweise viele komplexe zahlentheoretische Aufgaben übernehmen, es kann komplizierte Differentialgleichungen lösen, Laplace-Transformationen ausführen, Nullstellen von Besselfunktionen bestimmen und vieles mehr. Dies kann nicht unser Interesse sein. Es kann nicht darum gehen, noch komplexere, noch schwierigere Probleme in der Schule zu bearbeiten. Der Einsatz von neuen Technologien ist nur dort gerechtfertigt, wo sie uns helfen, die Unterrichts- und Bildungsziele, die ja primär ohne Blick auf die neuen Technologien definiert sind, leichter, effizienter, dauerhafter zu erreichen. Natürlich hat der Rechnereinsatz Auswirkungen auf die Methoden, denken wir nur an das Wechselspiel zwischen Visualisierung und formaler Darstellung, dennoch darf die Unterrichtsmethodik keinesfalls von den Bedürfnissen der Werkzeuge abhängen. Sie muss von den angestrebten Qualifikationen bestimmt sein.

Im Mathematikunterricht sind Computer-Algebra-Systeme vielseitige Werkzeuge, die einerseits leicht durchschaubare, aber rechenintensive Termumformungen übernehmen, andererseits durch ihre Visualisierungsmöglichkeiten auf effektive Weise die Begriffsbildung unterstützen. Darüber hinaus können sie Denkprozesse initialisieren und zu einem entscheidenden Instrument zur Aktivierung der Schüler werden. Mit dem Einsatz des Rechners in Verbindung mit geeigneten Arbeitsblättern kann und muss jeder Schüler eigene Aktivitäten entwickeln.

Neue Unterrichtsmethoden

Wenn wir die vorgestellten Schlüsselqualifikationen betrachten, so wird deutlich, dass sie durch einen ausschließlich lehrerzentrierten, frontal-entwickelnden Unterricht nicht zu erreichen sind. Diese übliche Stoffdarbietung mit dem anschließenden Üben und Anwenden muss ergänzt werden. Schülerinnen und Schüler müssen lernen, eigene Beobachtungen zu machen, selbständig Fragen zu stellen, eigene Lösungswege zu suchen, zu entdecken, zu beschreiben, zu erklären und zu begründen. Damit sind zwangsläufig Änderungen in unserem methodischen Vorgehen verbunden. Das Vermitteln von Fertigprodukten durch den Lehrer muss durch bewusste Lernprozesse der Schülerinnen und Schüler ersetzt werden. Weg vom produkt-orientierten, hin zum prozess-orientierten Unterricht ist das Gebot der Stunde. Damit die einzelnen Lernphasen bewusst wahrgenommen werden können, müssen die Unterrichtsformen flexibel darauf abgestimmt werden. Unterrichtsformen, die den Schülern größere Freiräume bieten und von ihnen eigene Entscheidungen verlangen, sind z.B.

Zur Realisierung solcher Unterrichtsformen sollte zumindest zeitweise eine freiere, nicht an einem starren Stundenplan fixierte Unterrichtsorganisation vorgesehen werden.

Das Erschließen von mathematischen Begriffen, Verfahren und Inhalten muss im Bewusstsein der Schüler Ergebnis eines spannenden Prozesses sein, Stationen auf diesem Weg sind

Katalysator CAS

Computer-Algebra-Systeme können gerade die zuletzt genannten Aktivitäten entscheidend unterstützen. Sie entwickeln sich somit zu kognitiven Werkzeugen und zu kognitiven Medien. Dabei steht nicht im Vordergrund, dass mit ihrer Hilfe vieles schneller und sicherer ausführbar ist, vielmehr ist die Akzentverschiebung weg vom Ausführen, hin zum Planen und Reflektieren von Bedeutung.

Natürlich kann dies auch nicht ohne Auswirkungen auf die Inhalte bleiben, an denen diese neuen Tätigkeiten ausgeführt werden. Neue Technologien erzwingen ein Überdenken der traditionellen Unterrichtsinhalte. Im Fach Mathematik werden Verfahren wie Rekursion, Simulation oder Themen wie Differentialgleichungen oder Ausgleichskurven dem Unterricht zugänglich. Es geht dabei allerdings nicht um den jeweiligen Kalkül und seine Durchführung, sondern um die Ideen und Grundvorstellungen. Die Beziehungen zwischen Mathematik und Realität werden deutlich. Interessante Anwendungen und deren Modellierung vermindern eine fachspezifische Einengung und fördern das Denken in vernetzten Systemen.

Die Frage nach den noch notwendigen syntaktischen und formalen Fähigkeiten und Fertigkeiten, d.h. "wieviel Termumformung braucht der Mensch", ist aktuell und keinesfalls abschließend beantwortet. Wie die Sprache der Grammatik bedarf, so kommt auch Mathematik nicht ohne Kalkül aus, er darf nur nicht zum Selbstzweck werden. Dies ist ein Grund, weshalb Computer-Algebra-Systeme in der Sekundarstufe I nur eine unbedeutende Rolle spielen.

Die Arbeit mit einem Computer-Algebra-System führt für Lehrer und für Schüler zu höheren Anforderungen. Die Einarbeitung in das verwendete CAS und die fachliche Unterrichtsvorbereitung sind sehr zeitaufwendig. Modellieren und Interpretieren sind schwieriger als Ausführen. Die Lehrerrolle ändert sich, weg von der reinen Vermittlung mathematischer Inhalte, hin zum Planer des Kurses und der Arbeitsblätter und zum Berater im Unterricht. Dafür ist ein hohes Maß an Flexibilität erforderlich. Neue Aufgabenstellungen, neue Unterrichtsformen, ein Mehraufwand an Differenzierung und immer wieder neue Anstöße zur Kooperation unter Kollegen erfordern große Anstrengungen auch außerhalb des Klassenzimmers.

Schülerinnen und Schüler sind den neuen Technologien gegenüber aufgeschlossen. Durch die Möglichkeit, experimentell zu arbeiten, werden sie mehr als im traditionellen Unterricht zu selbständigem Arbeiten und Denken angehalten. Wenn wir wollen, dass die Schüler eigenständig zu Ergebnissen gelangen, müssen wir ihnen auch mehr Selbstverantwortung einräumen. Der Einsatz neuer Technologien in der Schule muss sich am Bild des mündigen Schülers orientieren.

Zusammenfassend formulieren wir die These:
Computer-Algebra-Systeme leisten einen entscheidenden Beitrag zu einem lebendigen und zeitgemäßen Unterricht, indem sie die genannten Phasen und Formen des Lernens unterstützen.


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 aufbereitet fürs Internet: Roland Bernert