Zugang zu den Begriffen Ableitung und Integral über
Änderungsraten
H.-W. Henn, W. Jock, D. Koller, R. Reimer

 
Schülerinnen und Schüler erfassen den Sinn mathematischer Begriffsbildungen für die Realität leichter, wenn sie diese Begriffe zuvor in ihrem realen Bezug kennenlernen, bevor deren mathematsche Festlegung erfolgt. Anwendungen müssen deshalb vor der Theorie kommen, insbesondere sollen mathematische Begriffe als Abstraktionen solcher Anwendungen begriffen werden.

Didaktische Aspekte

Der Ableitungsbegriff wird häufig auf dem Weg über das Tangentenproblem eingeführt. Dies führt dazu, dass sich diese geometrische Vorstellung bei den Schülern verfestigt und oft mit dem Ableitungsbegriff gleichgesetzt wird. Mit Blick auf Anwendungen und als Weiterführung der Simulation von dynamischen Vorgängen aus der Sekundarstufe I sollte der Ableitungsbegriff aus dem Änderungsverhalten von Größen abgeleitet werden. Inhaltlich kann dies durch praxisnahe Fragestellungen vorbereitet werden.

Beispiele:

Vor diesem Hintergrund wird für eine Funktion f die Ableitung an einer Stelle x0 als momentane Änderungsrate an dieser Stelle, d. h. als Grenzwert von mittleren Änderungsraten definiert. Die geometrische Interpretation der Ableitung am Schaubild von f führt zum Begriff der Tangente.

Der Integralbegriff wird im Mathematikunterricht meistens über das Problem der Berechnung von Flächeninhalten eingeführt. Dies führt bei Schülern häufig dazu, dass Integralrechnung mit Flächeninhaltsberechnung gleichgesetzt wird. Unter dem Aspekt eines realitätsnahen Mathematikunterrichts ist diese Vorstellung zu einseitig. Wenn in Klasse 11 der Ableitungsbegriff als momentane Änderungsrate eingeführt wurde, sollte bei der Einführung des Integrals die Dualität der beiden Begriffe von Anfang an deutlich werden.

Zur Hinführung bieten sich Aufgabenstellungen an, bei denen ein Bestand (eine Funktion) aus der mittleren oder momentanen Änderungsrate (der gegebenen Ableitungsfunktion) näherungsweise oder exakt rekonstruiert wird.

Beispiele:

Anknüpfungen an behandelte Problemstellungen aus der Sekundarstufe I vermeiden hierbei eine zu einseitige Sicht für das Integral allein unter dem Aspekt der Flächeninhaltsbestimmung. Bei diesem Weg wird unmittelbar einsichtig, dass Integrieren die Berechnung von Flächeninhalten ermöglicht.

Rolle des CAS: Ein CAS ist zur Einführung der Differential- und Integralrechnung an mehreren Stellen und auf unterschiedlichen Ebenen hilfreich.

Es unterstützt

Die folgenden Beiträge beschreiben in knapper Form Vorschläge für Unterrichtsgänge zur Differential- und Integralrechnung unter den genannten Aspekten. Abschließend ist eine Sammlung von Prozeduren zur Integralrechnung angegeben, die sich zur Visualisierung der Vorgehensweise als "Black-Boxes" im Unterricht verwenden lassen.

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 aufbereitet fürs Internet: Roland Bernert