Approximation einer Funktion mittels ganzrationaler Funktionen bei n vorgegebenen Punkten
 
G. Dopfer, W. Jock

 
Didaktische Aspekte

Beschreibung

In vielen Anwendungssituationen muss die Aufgabe gelöst werden, Funktionen zu finden, die bestimmten Anforderungen genügen. Dies kann unter sehr verschiedenen Gesichtspunkten erfolgen. Wir beschränken uns hier auf die Klasse der Polynomfunktionen und wollen die ganzrationale Funktion f niedrigsten Grades bestimmen, die an n Stellen (den Stützstellen) x1, x2, ... xn vorgegebene Werte y1, y2, ... yn annimmt. Die Punkte Pi(xi/yi) können zum Beispiel Punkte einer Messreihe sein. Gesucht ist dann eine ganzrationale Funktion f niedrigsten Grades, auf deren Schaubild die Punkte Pi(xi/yi) liegen. Möglich wäre auch, dass die Werte yi Funktionswerte einer komplizierten Funktion h sind. In diesem Fall soll dann die Funktion h für weitere Untersuchungen näherungsweise durch die gesuchte Funktion f ersetzt werden.

Schon bei den beiden sehr einfachen Beispielen (Umriss eines Kotflügels, Querschnitt eines Schiffsrumpfes) ist das Ergebnis unbefriedigend. Die erhaltenen Kurven "schwingen" zu sehr aus. Bessere Ergebnisse erhält man durch die Verwendung von Spline-Funktionen. In früheren Zeiten wurde im Schiffsbau eine hochelastische dünne Latte (Spline) verwendet, um die optimale Form von Spanten zu bestimmen. Wird eine solche Latte durch die Punkte gelegt, die durch die Problemstellung vorgegeben sind, dann nimmt sie infolge ihrer Elastizität die Form an, die am wenigsten Biegeenergie erfordert und somit keine unnötigen Krümmungen besitzt. Man kann zeigen, dass man minimale Krümmung dann erhält, wenn man die gesuchte Funktion durch Polynome höchstens dritten Grades zusammensetzt.

Bei der Spline-Funktion wird für jedes der durch die Punkte Pi(xi/yi) gegebene Teilintervall [xi, xi+1] ein Näherungspolynom (in der Regel vom Grade 3, kubische Splines) bestimmt. An den Anschlussstellen der Teilintervalle sollen die Übergänge glatt sein, d.h. die beiden angrenzenden Teilpolynome müssen in den Funktionswerten und in den Werten der ersten und zweiten Ableitung übereinstimmen. An den Rändern des Gesamtintervalls setzt man willkürlich die zweite Ableitung gleich Null. Bei n vorgegebenen Punkten sind dies für die 4(n-1) Koeffizienten der (n-1) Teilpolynome dritten Grades

Bedingungen.

 

Literatur

Klett Themenhefte, Numerische Mathematik, Klett Verlag, Stuttgart.
Kroll: Analysis, Lehr und Arbeitsbuch, Band 1, Dümmler Verlag, Bonn



Methodische Hinweise
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  aufbereitet fürs Internet: Roland Bernert