Anwendungsorientierte Aufgaben
E. Endres

Didaktische Aspekte

 Motivation

Die konkrete Problemstellung bei anwendungsorientierten Aufgaben ist geeignet, bei Schülern das erforderliche Sachinteresse zu wecken. Darüber hinaus erleichtert die Anschaulichkeit realer Objekte den Schülern den Zugang zum Problem.

Modellbildung

Die Beschreibung der Wirklichkeit durch adäquate mathematische Modelle stellt in allen Naturwissenschaften eine zentrale Methode zur Erkenntnisgewinnung dar. Diese Methode kann im Mathematikunterricht anhand von anwendungsorientierten Aufgaben exemplarisch und bei überschaubaren Fragestellungen sinnvoll trainiert werden.

 Offene Fragestellungen

Die Bearbeitung anwendungsorientierter Aufgaben ist häufig mit verschiedenen Lösungsansätzen möglich. Diese Offenheit bietet den Schülern einerseits die Möglichkeit, einen eigenen für sie gangbaren Lösungsweg zu finden, erfordert jedoch andererseits auch die Kompetenz der Schüler, verschiedene Lösungswege im Hinblick auf Realisierbarkeit und die Qualität der Lösung zu beurteilen.
 

Dokumentation

Offene Fragestellungen erfordern mehr als Standardaufgaben eine sorgfältige Dokumentation des Lösungswegs. Computer-Algebra-Systeme stellen hierfür eine geeignete Unterstützung bereit.
 

Problemlösen

Schematische, durch einen vorgegebenen Algorithmus bearbeitbare Aufgaben können mit einem Computer-Algebra-System automatisiert gelöst werden. Deshalb werden Aufgabenstellungen, die die Kompetenz erfordern, die Problemstellung zu analysieren, zu strukturieren und einen Lösungsweg zu organisieren, zunehmend an Bedeutung gewinnen.

Methodische Hinweise

Möglicher unterrichtlicher Ablauf:

 
Erforderliche Arbeitsmittel:

Für jede Arbeitsgruppe ist mindestens ein Computer-Algebra-System erforderlich;
ein LCD-Display zur Vorstellung der Lösungen ist hilfreich.

Rolle des Lehrers:

Der Lehrer sollte sich zurückhalten und zunehmend die Rolle eines Moderators und Lernpartners für die Schüler einnehmen.

Aufgabenbeispiel 1:

Ein Sattelschlepper soll ein Brückenbauteil auf einem Auflieger transportieren. Der Auflieger hat einen nahezu rechteckigen Grundriß mit den Abmessungen 16,30m x 2,80m .

Die kritischste Stelle des Transportwegs ist eine rechtwinklige Abzweigung von der insgesamt (Hausfront bis Hausfront) 8,80m breiten Hauptstrasse in eine insgesamt (Hausfront bis Hausfront) 6,20m breite Nebenstraße.

Es stellt sich die Frage, ob diese Abzweigung für den Sattelschlepper passierbar ist, wenn man davon ausgehen kann, daß die Hinterachsen des Aufliegers unabhängig lenkbar sind.

Je nach Kenntnisstand der Schüler sind verschiedene Lösungsansätze möglich:
  1. Lösungsansatz :
Voraussetzungen:

Um diesen Lösungsweg zu beschreiten, sind Kenntnisse in Trigonometrie sowie der Differentialrechnung (Extremwertaufgaben) erforderlich.

 

Beschreibung des Lösungsansatzes:

Von einem Rechteck mit gegebener Breite B, welches an drei Stellen Kontakt mit einer Wand besitzt, wird in Abhängigkeit von a die Länge bestimmt. Unter Verwendung der obenstehenden Skizze ergibt sich:

      Mit  ergibt sich somit

Analog erhält man die Gleichung

,

woraus sich eine Abhängigkeit der Rechtecklänge L = L1 + L2 vom Winkel a ableiten läßt. Für einen bestimmten Winkel a gibt es eine minimale Rechtecklänge. Diese Länge ist gleichzeitig die maximal mögliche Fahrzeuglänge.

Lösung

Der im Anschluß an das Aufgabenblatt beigefügte kommentierte Lösungsweg zeigt Dokumentationsmöglichkeiten des Computer-Algebra-Systems MAPLE .

 

2. Lösungsansatz

Stellt man obige Skizze in ein Koordinatensystem mit dem Ursprung im Punkt O, kann man für die Rechteckseite PQ eine Geradengleichung mit m und c als Parameter aufstellen. Diese Gerade schneidet die "Wände" in den Punkten P(B2 | g(B2)) und Q (). Mittels gegebener Rechtecklänge L läßt sich eine Abhängigkeit zwischen m und c herausarbeiten:

.

Nach Auflösung dieser Gleichung nach c und Einsetzen in die Geradengleichung hängt die Gerade nur noch von m ab. Von der Geradenschar läßt sich in Abhängigkeit von m der Abstand zum Ursprung berechnen

und anschließend minimieren. Ergibt sich ein kleinerer minimaler Abstand als die Breite des Rechtecks, dann paßt der Sattelschlepper nicht um die Ecke.

 

Vereinfachungsmöglichkeit:

 
Zur Vereinfachung der Problemstellung kann man (zunächst) auf die Betrachtung der Breite des Sattelschleppers verzichten. Dadurch vereinfacht sich der Term für die Länge des Schleppers (Stabes) in Abhängigkeit von a zu:

 Aufgabenbeispiel 2: Ein quadratischer Tisch mit der Kantenlänge 1m steht in einer Abstellkammer mit gleichschenklig-rechtwinkliger Grundfläche.

Bestimme durch Rechnung, welche Abmessungen die Abstellkammer mindestens haben muß, damit man den Tisch innerhalb dieser Kammer gerade noch drehen kann (wobei stets zwei Ecken an den Katheten entlanggeführt werden)!
 
Der Nachteil dieser Aufgabe besteht wohl darin, daß die Offenheit des Problemlösungswegs nicht mehr in dem Maße wie in Aufgabe 1 gegeben ist; hier werden die Schüler wohl nicht auf einen trigonometrischen Ansatz verzichten können. 
 

Ein denkbarer Ansatz für diese Aufgabe ist folgender:

Beschreibe die Hypotenuse durch eine Gerade der Form y = -x + c und wähle c so, daß die Gerade die "äußerste" Ecke des Quadrats enthält. Bei Wahl des Winkels a zwischen der x-Achse und einer Quadratseite läßt sich ein Zusammenhang zwischen a und c erarbeiten:

Für die Koordinaten des Eckpunktes des Quadrats ergibt sich:

B( cos a | sin a + cos a ) . Dieser Eckpunkt liegt auf der Geraden y = - x + sin a + 2 cos a .

Minimierung von c = sin a + 2 cos a liefert   für die Kathetenlänge und somit  für die Hypotenusenlänge.



Eine durchaus auch "zu Fuß" bearbeitbare Aufgabe!

Aufgabenbeispiel 3:

("Rettungsschwimmer" oder "Brechungsgesetz" )

Nebenstehend sieht man das Luftbild eines Strandes. Auf der Position A befindet sich ein Rettungsschwimmer, der im Wasser auf Position B einen hilfesuchenden Menschen sieht, den er möglichst schnell erreichen muß. Auf dem Land legt er pro Sekunde 7 m zurück, im Wasser schafft er dagegen pro Sekunde nur 1,2 m. An welcher Stelle sollte er ins Wasser springen, um möglichst schnell bei dem Menschen zu sein?

Bei Parametrisierung dieser Aufgabe durch die Einsprungstelle x läßt sich die Gesamtzeit in Abhängigkeit von x bestimmen und anschließend minimieren.



 
 
Aufgabenbeispiel 4: 

Parabolspiegel werden zum Empfang von Satellitensendungen bzw. zum Empfang anderer elekromagnetischer bzw. optischer Signale verwendet. Parabolspiegel besitzen eine Oberfläche, die im Querschnitt einen parabelförmigen Verlauf besitzt. Diese parabolische Oberfläche hat die Eigenschaft, daß achsenparallel einfallende Strahlen so reflektiert werden, daß sie durch einen gemeinsamen Punkt - den Brennpunkt - verlaufen. Dort kann dann ein Empfänger postiert werden, der die "gebündelten" Signale auffängt und verstärkt.

Wir betrachten hier einen Parabolspiegel, der den Durchmesser d bzw. den Radius r = d/2 sowie eine Höhe h besitzt (siehe Skizze). 

Gesucht ist der "Brennpunkt" dieser Parabel. 

In den Lösungsvorschlägen, die über die im Einband angegebene Internetadresse zu beziehen sind, befindet sich hierzu eine mögliche Maple-Lösung. Eine graphische Darstellung der gefundenen Reflexionsstrahlen könnte folgendermaßen (mit Maple realisiert) aussehen: 


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 aufbereitet fürs Internet: Roland Bernert