Didaktische Aspekte

• Entwickeln eines Gespürs für Parameterdarstellungen (auch im Hinblick auf Geraden und Ebenen im Raum),
• Visualisierung, Experimentieren, selbständiges Finden, Formulieren und Begründen von mathematischen Zusammenhängen, Erweiterung einer Standardaufgabe durch Variieren,
• Schönheit und Ästhetik der Mathematik,
• historische Aspekte.

1. Eine vom Parameter t abhängige Kurvenschar mit der Gleichung y = f(x,t) hat die Hochpunkte H(2t + 5 | t² - 4t). Bisher haben Sie die Kurve, auf der diese Hochpunkte liegen, dadurch gefunden, dass Sie den x-Wert x = 2t + 5 nach t zu

t =  aufgelöst haben und dies in die Gleichung für y eingesetzt haben, also

y = t² - 4t = ()² – 4  = . Die zugehörige Kurve ist eine Parabel.

1. Sie können auch für einige Werte von t eine Wertetabelle für x(t) und y(t) erstellen und dann die Punkte P(t) = (x(t)|y(t)) zeichnen und so dieselbe Parabel gewinnen. Machen Sie dies für t = -5 bis 5 mit Schrittweite 1. Man nennt x(t) = 2t+5 und y(t) = t²-4t die Parameterdarstellung der Kurve, hier der Parabel, durch den Parameter t.
1. Das Zeichnen unserer Parabel in Parameterdarstellung geht einfacher mit Maple. Lesen Sie hierzu die Erläuterungen zum Befehl plot in der Maple-Hilfe. Beachten Sie zuerst die Beispiele (tippen Sie hierzu >???plot).

4. Zeichnen Sie wie in Aufgabe 3 die Kurve, auf der die folgenden Punkte liegen. Wählen Sie jeweils einen sinnvollen Zeichenbereich für den Parameter t. Beschreiben Sie die Kurven.

5. Geben Sie je eine Parameterdarstellung der folgenden (zum Teil durch eine Gleichung gegebenen) Kurven an und zeichnen Sie damit unter Verwendung von Maple die Kurve.

6. Kann man für jedes Schaubild einer Funktion f mit y = f(x) eine Parameterdarstellung angeben? Kann man jede durch eine Parameterdarstellung gegebene Kurve als Schaubild einer Funktion darstellen?

1. Geben Sie eine Parameterdarstellung des Kreises mit Radius r und Mittelpunkt M(0|0) an. Welche Definition des Kreises haben Sie dabei benutzt ?

2. Geben Sie eine Parameterdarstellung des Kreises mit Radius r und Mittelpunkt M (a|b) an.

Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte P einer Ebene, für die die Summe der Abstände von zwei festen Punkten F1, F2 konstant ist. F1 und F2 nennt man die Brennpunkte der Ellipse. Kreise sind Spezialfälle von Ellipsen. (Wieso?)

3. Geben Sie eine Parameterdarstellung der Ellipse mit den Brennpunkten F₁(-3|0), F₂(3|0) und der Abstandssumme 10 an.

1. Anleitung: Bestimmen Sie zunächst die Achsenschnittpunkte A, B, C und D (vgl. Skizze). Berechnen Sie dann für einen allgemeinen Punkt P(x|y) der Ellipse (unter Verwendung der Ellipsendefinition) eine Gleichung zwischen x und y. Hierbei kann Maple helfen! Dann können Sie auch eine Parameterdarstellung angeben! Welche Definitionsmenge für den Parameter t liefert genau die Ellipse?

4. Geben Sie eine Parameterdarstellung einer Ellipse mit den Brennpunkten F₁, F₂ und der Abstandssumme d an.

1. Anleitung: Verallgemeinern Sie Ihre Bearbeitung von Aufgabe 3. Führen Sie zunächst entsprechnd der Abbildung ein geeignetes Koordinatensystem ein; d lässt sich dann durch die x-Koordinate von A ausdrücken. Das Dreieck OF₁B liefert einen weiteren Zusammenhang! Jetzt können Sie wieder für einen allgemeinen Ellipsenpunkt P(x|y) eine Gleichung zwischen x und y bestimmen (Maple hilft bei den Umformungen!). Eine Parameterdarstellung erhalten Sie dann wie bei Aufgabe 3. Welche Definitionsmenge für den Parameter t liefert genau die Ellipse?

4. Zeichnen Sie mit Hilfe der Parameterdarstellung verschiedene Ellipsen!

1. Rollt ein Kreis mit Radius r ohne zu gleiten auf einer Geraden ab, dann heißt die Bahnkurve (Ortslinie), die ein fester Punkt P der Kreislinie beschreibt, Zykloide.

2. Auf welcher Kurve bewegt sich der Kreismittelpunkt M?

Auf welcher Kurve bewegt sich ein beliebiger Punkt P (mit  = d) der Kreisfläche? (Vgl. Skizze)

Kontrollergebnis:

x(t) = r× t - d× sin(t) und y(t) = r - d× cos(t).

Lässt sich d > r geometrisch deuten? (Experimentiere!)
 

3. Auf einem Kreis vom Radius r rollt ein Kreis mit Radius 1 ab. Bestimmen Sie eine Parameterdarstellung der Kurve, die ein Punkt auf dem Rand des Abrollkreises beschreibt. Diese Kurve heißt Epizykloide.

 


4. In einem Kreis vom Radius r >1 rollt ein Kreis mit Radius 1 ab. Bestimmen Sie eine Parameterdarstellung der Kurve, die ein Punkt auf dem Rand des kleinen Abrollkreises beschreibt. Diese Kurve heißt Hypozykloide.

M sei der Mittelpunkt des Abrollkreises. Als Parameter t kann der Winkel gewählt werden, um den sich die Strecke OM beim Abrollen dreht. Der Abrollkreis dreht sich dabei um den Winkel a . Sie erhalten einen Zusammenhang zwischen den Winkeln t und a , wenn Sie berücksichtigen, dass aufgrund der Abrollbedingung die Bögen AB und PB gleichlang sind. Für t = 0 berühren sich die beiden Kreise im Punkt A(r|0) (vgl. Skizze).

Gehen Sie für Aufgabe 4 analog vor.

Kontrollergebnis:

Epizykloide: x(t) = (r+1)× cos(t) - cos((r+1)× t); y(t) = (r+1)× sin(t) - sin((r+1)× t);

Hypozykloide: x(t) = (r-1)× cos(t) + cos((r-1)× t); y(t) = (r-1)× sin(t) - sin((r-1)× t).

Experimentieren Sie mit diesen Kurven (mit Ihren Schablonen und mit Maple); notieren Sie Ihre Beobachtungen. Wann sind Epizykloiden und und Hypozykloiden geschlossene Kurven? Wie muss man dann den Parameterbereich für t wählen, um genau einmal die Kurve zu durchlaufen? Bestätigen Sie den folgenden, von Nikolaus Kopernikus stammenden Satz: Läßt man in einem festen Kreis einen Kreis vom halben Radius abrollen, so beschreibt jeder Punkt des abrollenden Kreises einen Durchmesser des festen Kreises.

1. Oszilloskop: An den x-Eingang wird eine Wechselspannung U_x(t), an den y-Eingang eine andere Wechselspannung U_y(t) gelegt. Der Strahl des Oszilloskops beschreibt dann eine Lissajouskurve auf dem Bildschirm.
2. Fadenpendel: Wenn ein Fadenpendel nur in einer Ebene schwingt, so beschreibt es eine harmonische Schwingung. Wird das Pendel gleichzeitig noch in einer dazu senkrechten Richtung angeregt, so beschreibt es ebenfalls eine Lissajouskurve.

Kontrollergebnis: x(t) = a× sin( t), y(t) = b× sin( t - d),

Zeichnen Sie mit Hilfe von Maple Lissajous-Figuren.

Einige Hinweise zum Experimentieren:

Setzen Sie z.B. a = b = 1 und untersuchen Sie systematisch

• p = q, Variation von d = 0, , , , ... . Versuchen Sie, die Figur räumlich zu sehen. Was bewirkt dann d?
• p = 2 q, Variation von d, ...
• ....

1. Zeichnen Sie die Kurve für k = 2 und t Î [ 0, 2p ].
2. Untersuchen Sie die Rosenkurven für k Î N.
3. Wie unterscheiden sich die Rosenkurven für k und -k?
4. Untersuchen Sie die Rosenkurven für k = , k = , k = , k = .....Für welche k entstehen geschlossene Kurven? Geben Sie dann einen minimalen t-Bereich an, für den die Kurve genau einmal durchlaufen wird.
5. Untersuchen Sie die Rosenkurven auf Symmetrie.

1. archimedische Spirale: x(t) = t× cos(t), y(t) = t× sin (t).
2. logarithmische Spiralen (Albrecht Dürer [1471 - 1528] ):

x(t) = × cos(t), y (t) = × sin(t), (a > 0). Untersuchen Sie z.B. für a = 1,1 und a = 0,9.

3. hyperbolische Spirale: x(t) = × cos(t), y(t) = × sin(t).

d. Fermatsche Spirale (Pierre de Fermat [1601 - 1665]): x(t) = × cos(t), y(t) = × sin(t).   e. Krummstab (Roger Cotes [1682 - 1716]): x(t) = × cos(t), y(t) = × sin(t).

Welchen Abstand haben die einzelnen Windungen? Untersuchen Sie genauer die Länge der Strecke, die die Spirale aus der positiven x-Achse ausschneidet? Gibt es Asymptoten?