Parameterdarstellungen von ebenen Kurven
W.-D. Stauss, H.-W. Henn
 
Beschreibung
Ausgehend von bekannten, einfachen Ortslinienaufgaben aus der Analysis der Klasse 11 soll das Verständnis für die Parameterdarstellung von Kurven eingeführt und gefestigt werden. Die Arbeitsblätter können ab Ende der Klasse 11 eingesetzt werden. Für jedes der Arbeitsblätter wird etwa eine Doppelstunde benötigt. Die ersten beiden sollten in jedem Fall bearbeitet werden; die anderen sind voneinander unabhängig. Die Aufgaben 1.1 und 1.2 können als vorbereitende Hausaufgaben gestellt werden.

 
Didaktische Aspekte

 
Hinweis:
Ein ausführlicher Lösungsvorschlag (Maple-Datei M5_2_PAR_LOES.MWS) kann über die auf der Rückseite des Einbands angegebene Internetadresse abgerufen werden.

Aufgabenblatt 1: Einführung der Parameterdarstellung einer Kurve
  1. Eine vom Parameter t abhängige Kurvenschar mit der Gleichung y = f(x,t) hat die Hochpunkte H(2t + 5 | t2 - 4t). Bisher haben Sie die Kurve, auf der diese Hochpunkte liegen, dadurch gefunden, dass Sie den x-Wert x = 2t + 5 nach t zu

  2. t =  aufgelöst haben und dies in die Gleichung für y eingesetzt haben, also

    y = t2 - 4t = ()2. Die zugehörige Kurve ist eine Parabel.

  3. Sie können auch für einige Werte von t eine Wertetabelle für x(t) und y(t) erstellen und dann die Punkte P(t) = (x(t)|y(t)) zeichnen und so dieselbe Parabel gewinnen. Machen Sie dies für t = -5 bis 5 mit Schrittweite 1. Man nennt x(t) = 2t+5 und y(t) = t2-4t die Parameterdarstellung der Kurve, hier der Parabel, durch den Parameter t.
  4. Das Zeichnen unserer Parabel in Parameterdarstellung geht einfacher mit Maple. Lesen Sie hierzu die Erläuterungen zum Befehl plot in der Maple-Hilfe. Beachten Sie zuerst die Beispiele (tippen Sie hierzu >???plot).
  1. Zeichnen Sie wie in Aufgabe 3 die Kurve, auf der die folgenden Punkte liegen. Wählen Sie jeweils einen sinnvollen Zeichenbereich für den Parameter t. Beschreiben Sie die Kurven.
a. W(t2 | t3 - 5t); b. P(3 cos(t)|3 sin(t)); c. Q(t3 - 5t | 3); d. R(-2 | t2 -1).
  1. Geben Sie je eine Parameterdarstellung der folgenden (zum Teil durch eine Gleichung gegebenen) Kurven an und zeichnen Sie damit unter Verwendung von Maple die Kurve.
a. Erste Winkelhalbierende; b. y = 4x - 1; c. y = x2; d. y = 2; e. x = -6.
  1. Kann man für jedes Schaubild einer Funktion f mit y = f(x) eine Parameterdarstellung angeben? Kann man jede durch eine Parameterdarstellung gegebene Kurve als Schaubild einer Funktion darstellen?

Aufgabenblatt 2: Ellipsen
1. Zeichnen Sie mit Maple die Kurve mit der Parameterdarstellung x(t) = 3× cos(t) und y(t) = 3× sin(t) mit 0 £ t £ 2p . Welche Kurve ist dies? Begründen Sie! Welche geometrische Bedeutung hat der Parameter t ? Was ergibt sich bei einem anderen Definitionsbereich des Parameters?
  1. Geben Sie eine Parameterdarstellung des Kreises mit Radius r und Mittelpunkt M(0|0) an. Welche Definition des Kreises haben Sie dabei benutzt ?
  1. Geben Sie eine Parameterdarstellung des Kreises mit Radius r und Mittelpunkt M (a|b) an.
 
Eine Ellipse ist die Menge aller Punkte P einer Ebene, für die die Summe der Abstände von zwei festen Punkten F1, F2 konstant ist. F1 und F2 nennt man die Brennpunkte der Ellipse. Kreise sind Spezialfälle von Ellipsen. (Wieso?) 
 
  1. Geben Sie eine Parameterdarstellung der Ellipse mit den Brennpunkten F1(-3|0), F2(3|0) und der Abstandssumme 10 an.
  1. Anleitung: Bestimmen Sie zunächst die Achsenschnittpunkte A, B, C und D (vgl. Skizze). Berechnen Sie dann für einen allgemeinen Punkt P(x|y) der Ellipse (unter Verwendung der Ellipsendefinition) eine Gleichung zwischen x und y. Hierbei kann Maple helfen! Dann können Sie auch eine Parameterdarstellung angeben! Welche Definitionsmenge für den Parameter t liefert genau die Ellipse?
  1. Geben Sie eine Parameterdarstellung einer Ellipse mit den Brennpunkten F1, F2 und der Abstandssumme d an.
  1. Anleitung: Verallgemeinern Sie Ihre Bearbeitung von Aufgabe 3. Führen Sie zunächst entsprechnd der Abbildung ein geeignetes Koordinatensystem ein; d lässt sich dann durch die x-Koordinate von A ausdrücken. Das Dreieck OF1B liefert einen weiteren Zusammenhang! Jetzt können Sie wieder für einen allgemeinen Ellipsenpunkt P(x|y) eine Gleichung zwischen x und y bestimmen (Maple hilft bei den Umformungen!). Eine Parameterdarstellung erhalten Sie dann wie bei Aufgabe 3. Welche Definitionsmenge für den Parameter t liefert genau die Ellipse?
  1. Zeichnen Sie mit Hilfe der Parameterdarstellung verschiedene Ellipsen!
 
Aufgabenblatt 3: Abrollkurven
Bevor Nikolaus Kopernikus das heliozentrische Weltbild entdeckte, beschrieb man die Bewegung der Planeten mit dem geozentrischen Weltbild des Ptolemäus. Hierbei wurde die Bewegung mittels Kreisen beschrieben, die sich auf Kreisen bewegten. Als einer der ersten beschäftigte sich Galileo Galilei [1564 - 1642] mit der folgenden Kurve. Er gab ihr 1599 den heute gebräuchlichen Namen, der sich von Kreis bzw. Radlinie ableitet.
  1. Rollt ein Kreis mit Radius r ohne zu gleiten auf einer Geraden ab, dann heißt die Bahnkurve (Ortslinie), die ein fester Punkt P der Kreislinie beschreibt, Zykloide.
Leiten Sie eine Parameterdarstellung der Zykloide her. Als Parameter eignet sich der (negativ orientierte) Winkel t (vgl. Skizze, die Ausgangslage von P war der Nullpunkt, der Kreis ist schon das Stück r× t abgerollt).

Kontrollergebnis:

x(t) = r× t - r× sin(t) und y(t) = r - r× cos(t).

Begründen Sie, dass sich die Bewegung durch Überlagerung einer Drehung um den Kreismittelpunkt und einer Bewegung parallel zur x-Achse ergibt.

Zeichnen Sie Zykloiden! Wie hängt das Bild vom Parameterbereich ab?

 

  1. Auf welcher Kurve bewegt sich der Kreismittelpunkt M?
Auf welcher Kurve bewegt sich ein beliebiger Punkt P (mit  = d) der Kreisfläche? (Vgl. Skizze)

Kontrollergebnis:

x(t) = r× t - d× sin(t) und y(t) = r - d× cos(t).

Lässt sich d > r geometrisch deuten? (Experimentiere!)
 

Für die folgende erweiterte Fragestellung können Sie sich z.B. aus Pappdeckel Schablonen schneiden.
  1. Auf einem Kreis vom Radius r rollt ein Kreis mit Radius 1 ab. Bestimmen Sie eine Parameterdarstellung der Kurve, die ein Punkt auf dem Rand des Abrollkreises beschreibt. Diese Kurve heißt Epizykloide.
  2.  

  3. In einem Kreis vom Radius r >1 rollt ein Kreis mit Radius 1 ab. Bestimmen Sie eine Parameterdarstellung der Kurve, die ein Punkt auf dem Rand des kleinen Abrollkreises beschreibt. Diese Kurve heißt Hypozykloide.
 
Anleitung zu Aufgabe 3:

M sei der Mittelpunkt des Abrollkreises. Als Parameter t kann der Winkel gewählt werden, um den sich die Strecke OM beim Abrollen dreht. Der Abrollkreis dreht sich dabei um den Winkel a . Sie erhalten einen Zusammenhang zwischen den Winkeln t und a , wenn Sie berücksichtigen, dass aufgrund der Abrollbedingung die Bögen AB und PB gleichlang sind. Für t = 0 berühren sich die beiden Kreise im Punkt A(r|0) (vgl. Skizze).

Gehen Sie für Aufgabe 4 analog vor.

Kontrollergebnis:

Epizykloide: x(t) = (r+1)× cos(t) - cos((r+1)× t); y(t) = (r+1)× sin(t) - sin((r+1)× t);

Hypozykloide: x(t) = (r-1)× cos(t) + cos((r-1)× t); y(t) = (r-1)× sin(t) - sin((r-1)× t).

Experimentieren Sie mit diesen Kurven (mit Ihren Schablonen und mit Maple); notieren Sie Ihre Beobachtungen. Wann sind Epizykloiden und und Hypozykloiden geschlossene Kurven? Wie muss man dann den Parameterbereich für t wählen, um genau einmal die Kurve zu durchlaufen? Bestätigen Sie den folgenden, von Nikolaus Kopernikus stammenden Satz: Läßt man in einem festen Kreis einen Kreis vom halben Radius abrollen, so beschreibt jeder Punkt des abrollenden Kreises einen Durchmesser des festen Kreises.


 Aufgabenblatt 4: Lissajouskurven
 
 
Lissajouskurven (Antoine Lissajous [1822 - 1880]) kann man leicht experimentell erzeugen:
  1. Oszilloskop: An den x-Eingang wird eine Wechselspannung Ux(t), an den y-Eingang eine andere Wechselspannung Uy(t) gelegt. Der Strahl des Oszilloskops beschreibt dann eine Lissajouskurve auf dem Bildschirm.
  2. Fadenpendel: Wenn ein Fadenpendel nur in einer Ebene schwingt, so beschreibt es eine harmonische Schwingung. Wird das Pendel gleichzeitig noch in einer dazu senkrechten Richtung angeregt, so beschreibt es ebenfalls eine Lissajouskurve.
Geben Sie eine Parameterdarstellung einer Lissajouskurve an. Setzten Sie dazu x(t) und y(t) jeweils als sinusförmige Schwingungen mit den Perioden p bzw. q und den Amplituden a bzw. b an. Zusätzlich kann y(t) eine Phasenverschiebung von d gegenüber x(t) haben. Der Parameter t kann als Zeit gedeutet werden.

Kontrollergebnis: x(t) = a× sin( t), y(t) = b× sin( t - d),

Zeichnen Sie mit Hilfe von Maple Lissajous-Figuren.

Einige Hinweise zum Experimentieren:

Setzen Sie z.B. a = b = 1 und untersuchen Sie systematisch

Wann entstehen geschlossene Kurven? Geben Sie dazu einen minimalen Definitionsbereich für den Parameter t an, für den die Kurve genau einmal durchlaufen wird. Wann liegt Symmetrie zum Ursprung, wann zur x- bzw. zur y-Achse vor?

Aufgabenblatt 5: Weitere interessante Parameterkurven
Experimentieren Sie mit den Kurven, die durch die folgenden Parametergleichungen gegeben sind : Rosenkurven (Guido Grandi [1671 - 1742])   x(t) = sin(k× t)× cos(t), y(t) = sin(k× t)× sin(t) mit Kurvenparameter t und Parameter k Î R.
  1. Zeichnen Sie die Kurve für k = 2 und t Î [ 0, 2p ].
  2. Untersuchen Sie die Rosenkurven für k Î N.
  3. Wie unterscheiden sich die Rosenkurven für k und -k?
  4. Untersuchen Sie die Rosenkurven für k = , k = , k = , k = .....Für welche k entstehen geschlossene Kurven? Geben Sie dann einen minimalen t-Bereich an, für den die Kurve genau einmal durchlaufen wird.
  5. Untersuchen Sie die Rosenkurven auf Symmetrie.
Spiralen
kommen in Natur und Technik häufig vor. Sei es beim Schneckenhaus, Kopffüßler Nautilus macromphalus, Wasserwirbel, Bandaufwicklung oder den Spuren der Schallplatte. Gemeinsam ist bei allen Spiralen, dass ein "Zentrum" in immer größeren oder kleineren Windungen umlaufen wird.
  1. archimedische Spirale: x(t) = t× cos(t), y(t) = t× sin (t).
  2. logarithmische Spiralen (Albrecht Dürer [1471 - 1528] ):
  3. x(t) = × cos(t), y (t) = × sin(t), (a > 0). Untersuchen Sie z.B. für a = 1,1 und a = 0,9.

  4. hyperbolische Spirale: x(t) = × cos(t), y(t) = × sin(t).
d. Fermatsche Spirale (Pierre de Fermat [1601 - 1665]): x(t) = × cos(t), y(t) = × sin(t).   e. Krummstab (Roger Cotes [1682 - 1716]): x(t) = × cos(t), y(t) = × sin(t). Zeichnen Sie die Kurven.

Welchen Abstand haben die einzelnen Windungen? Untersuchen Sie genauer die Länge der Strecke, die die Spirale aus der positiven x-Achse ausschneidet? Gibt es Asymptoten?


zurück
 aufbereitet fürs Internet: Roland Bernert