Kegel und Kegelschnitte

S. Skirke
 
Didaktische Aspekte Beschreibung
Das traditionelle Thema führt von anschaulich zu erfassenden Sachverhalten bis zur analy-tischen Darstellung der Kegelschnitte und zur Untersuchung einiger ihrer Eigenschaften.

Zunächst ist die Gleichung eines Doppelkegels aufzustellen. Hierzu muß man überlegen, welche Größen seine Lage im Raum festlegen können. Am einfachsten gelingt die Darstellung des Kegelmantels mittels Skalarprodukt als Ort all der Punkte, die von allen von einem gemeinsamen Anfangspunkt auf einer festgelegten Geraden ausgehenden und mit dieser Geraden einen festen Winkel einschließenden Vektoren beschrieben werden. Einfachheitshalber wird man als Achse des Kegels eine Koordinatenachse wählen und die Kegelspitze in den Ursprung legen.

Die Lösung des Gleichungssystems aus Kegelgleichung und Ebenengleichung führt zu den Kegelschnitten, das Ergebnis wird graphisch dargestellt. Hier müssen Vorstellungen entwickelt werden, wie man durch Änderung der Anordnung der Schnittebene alle möglichen Fälle einschließlich der ausgearteten Kegelschnitte erfassen kann.

Will man die Gleichungen der ebenen Schnittkurven in möglichst einfacher Form angeben, sind Überlegungen notwendig, welche Anordnung von Kegel und Ebene sich hierfür besonders eignet. Die Lösung dieser Frage erfordert räumliches Vorstellungsvermögen und Verständnis für die formale Umsetzung. Die Interpretation der allgemeinen Lösung, gegebenenfalls mit unterschiedlich formulierten Vektorkoordinaten, führt im Vergleich mit den Beispielen zu Bedingungen für die verschiedenen Kegelschnitte.

Weitere Untersuchungen lassen sich beispielsweise zur Ortskurvendefinition der Kegelschnitte und davon ausgehend zu anderen höheren Kurven führend oder u.a. fächerverbindend zu physikalisch-technischen Sachverhalten wie der Betrachtung des Strahlengangs einer Parabol-antenne anschließen. Hier fließen Verfahren aus der Analysis mit ein.

Bemerkungen
Das Thema kann in Grund- und Leistungskursen im Anschluß an die Lehrplaneinheiten "Normalenformen von Geraden und Ebenen" (LPE 5 Gk) bzw. "Metrische Geometrie im Anschauungsraum" (LPE 8 Lk), nachdem Skalarprodukt, Berechnung von Winkeln und Normalenform von Ebene und Gerade bekannt sind, im Rahmen des Wahlangebots behandelt werden.

Bei der Bearbeitung sollten die Graphikmöglichkeiten von Maple, etwa auch ein Objekt aus beliebigen Richtungen betrachten zu können, an möglichst vielen Stellen genutzt werden, um besonders die räumliche Vorstellung von den behandelten Objekten zu intensivieren.
 


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 aufbereitet fürs Internet: Roland Bernert