Planetenbahnen mit TPLOT

Es wird gezeigt, wie das in den Schulen weitverbreitete Funktionsplotprogramm TPLOT in Klasse 11 im Physikunterricht eingesetzt werden kann, um Planetenbahnen maßstabsgetreu darzustellen.

Verfasser: StR Thomas Mühlbayer, Theodor-Heuss-Gymnasium, Rappstr.9, 75417 Mühlacker.


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Dieser Artikel ist in der Zeitschrift "Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht" im Heft Juni 1994 erschienen und wird hier mit freundlicher Genehmigung des DÜMMLER-Verlags wiedergegeben.

1 Einführung

In der 11. Klasse lernen die Schüler und Schülerinnen u.a. das 1. Keplersche Gesetz: "Die Planeten bewegen sich auf Ellipsenbahnen um den Zentralkörper, der in einem der Brennpunkte der Ellipse steht." Ellipsen haben die Schüler und Schülerinnen als gestauchte Kreise oder Kegelschnitte kennengelernt und stellen sich deutliche Ellipsen vor, d.h. z.B. mit Halbachsenverhältnis 2:1 (Abb. 1). Die Planetenbahnen sind aber nur sehr schwach ausgeprägte Ellipsen. Bei maßstabsgetreuer Zeichnung weichen alle Planetenbahnen unseres Sonnensystems nur geringfügig, d.h. meist innerhalb der Strichstärke von einer Kreisbahn ab. Lediglich der Effekt, daß sich die Sonne nicht im Mittelpunkt der Bahn, sondern in einem der beiden Brennpunkte befindet, ist bei Merkur-, Mars- und Plutobahn deutlicher sichtbar.

Dies wird man im Unterricht hervorheben. Eine Unterstützung ist dabei eine maßstabsgetreue Zeichnung der Bahnen. Hierbei bietet sich Computergrafik an. Ein Programm dafür selbst zu schreiben, ist möglich, aber der Aufwand wäre unverhältnismäßig groß.

Auf dem Sharewaremarkt gibt es das in den Schulen weitverbreitete Programm TPLOT [1]. Hierbei handelt es sich um einen Funktionsplotter, der auch Parameterkurven zeichnen kann und der die Definition dreier Konstanten a, b und c ermöglicht. Diese Optionen erlauben eine sehr einfach zu handhabende Darstellung der Planetenbahnen.


2 Mathematische Beschreibung der Bahnen

In den Physikbüchern für Klasse 11 ist in der Regel eine Tabelle der Bahndaten angegeben (z.B. [2, S. 213] oder [3, S.130] ), die jeweils die große Halbachse a und die numerische Exzentrizität a/e der Bahn enthält. Mit Hilfe dieser beiden Zahlen ist die Ellipsenbahn eindeutig bestimmt. Die kleine Halbachse b ergibt sich aus diesen Zahlen (vgl. Abb. 1):
 (1)          a = b + e    =>   b = sqrt(a-e) = sqrt(1-(e/a))*a
In Parameterdarstellung wird eine Ellipsenbahn folgendermaßen beschrieben, wenn der Ursprung des Koordinatensystems einer der beiden Brennpunkte sein soll:
	( x(t) = a*cos(t) - e  )
 (2)	(                      )   für 0<=t<=2pi		 
	( y(t) = b*sin(t)      )
Mit Hilfe von (1) ergibt sich daraus eine Darstellung, die in TPLOT verwendet werden kann:
	( x(t) = a*cos(t) - (e/a)*a            )
 (3)	(                                      )   für 0<=t<=2pi		 
	( y(t) = sqrt(1-(e/a)) * a * sin(t)   )

3 Darstellung der Bahnen mit TPLOT


3.1 Einmalige Einstellungen und Eingaben

Nach dem Programmstart schaltet man mit der Taste F3 zuerst auf "Parameterkurven" um und erhält den Bildschirm laut Abbildung 2. Die Skalierung des Koordinatensystems ist so eingetragen, daß auf einem VGA-Bildschirm (640 x 480 Punkte) eine verzerrungsfreie Darstellung erreicht wird. Weil 640 : 480 = 1.33 ist, wurde für die x-Achsenlänge -1.33 bis 1.33 und für die y-Achsenlänge -1.00 bis 1.00 gewählt. Der Bereich für den Parameter t geht von 0.00 bis 6.30 (= 2pi). Die zur Verfügung gestellten Konstanten a, b, c wurden folgendermaßen festgelegt: Damit ändert sich die Parameterdarstellung (3) für TPLOT in
	( x(t) = (b/a)*cos(t) - c*(b/a)        )
 (4)	(                                      )   für 0<=t<=2pi		 
	( y(t) = sqrt(1-c) * (b/a) * sin(t)   )
Wie diese Formeln in TPLOT eingegeben werden müssen, zeigt Abbildung 2.

Mit der Taste F5 können diese Grundeinstellungen in einer Funktionenbibliothek abgelegt und beim Einsatz des Programms schnell wieder geladen werden.

3.2 Eingaben für spezielle Bahnen

Wenn die Grundeinstellungen gemacht sind, müssen nur noch die drei Konstanten eingegeben bzw. geändert werden, um eine spezielle Bahn zeichnen zu lassen. Dazu öffnet man mit der Taste F6 das Optionen-Fenster (Abb. 3) und gibt die entsprechenden Werte für a, b und c ein.

Zwei Beispiele zeigen die Abbildung 4 und die Abbildung 5. Um Abbildung 4 auf dem Bildschirm zu erzeugen, wird zuerst bei a der Maßstab, hier die große Halbachsenlänge der Neptunbahn (4496 Mio. km), eingetragen. Dann trägt man unter b und c z. B. die Daten der Saturnbahn ein (vgl. Abb. 3). Mit ESC wird das Optionenfenster geschlossen und anschließend mit F10 die Bahn und das Koordinatensystem gezeichnet. Für eine weitere Planetenbahn wird der Grafikbildschirm mit ESC verlassen, dann mit F6 wieder das Optionenfenster geöffnet und dort b und c für eine neue Bahn eingetragen. Damit die schon gezeichnete Bahn nicht gelöscht wird, zeichnet man jetzt die neue Bahn mit F9 statt mit F10. Dies kann für alle gewünschten Bahnen wiederholt werden.

Abbildung 5 zeigt die Bahnen der inneren Planeten. Hier wurde als Maßstab die große Halbachsenlänge der Marsbahn eingetragen. Selbstverständlich können auch Satelliten- und Kometenbahnen eingezeichnet werden. Als Beispiel enthalten die Abbildungen die Bahn des Halleyschen Kometen (Halbachse b = 2684 Mio km, num. Exzentrizität c = 0,97).

Befindet man sich im Grafikmodus, können die erzeugten Bilder mit F5 auch abspeichert und wieder geladen werden. Außerdem ist im Grafikmodus mit der Tastenfolge F4, T auch ein Beschriften möglich. Diese und andere Möglichkeiten des Programms werden durch die eingebaute Hilfestellung (F1) erklärt.


Software und Literatur

[1] H.-J. DREHER: Turbo-Plot, Version 7.5
Ein Funktionsplotprogramm für IBM-kompatible Rechner unter MS-DOS.
Erhältlich bei H.-J. Dreher, Hintere Kirchstr. 7, 77736 Zell a.H.
Preis (Stand 1992): Einzellizenz 40,- DM, Schullizenz 80,- DM
[2] DORN, BADER: Physik, Oberstufe M. - Hannover: Schroedel 1983
[3] GROSS-BERHAG: Physik 11 .- Stuttgart: Klett 1987

Anregungen und Anmerkungen
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