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Mathematik: CAS als Chance für den Mathematikunterricht

Mathematik in der Krise ?

Viele Jahre lang war die Rolle der Mathematik im Fächerkanon schulischer Bildung unbestritten oder besser ausgedrückt, nicht hinterfragt und somit auch nicht eindeutig definiert. Erst in den letzten Jahren kamen Ansätze auf, die - auch initiiert durch die knapper werdenden Ressourcen - nach den unverzichtbaren Inhalten für den Mathematikunterricht in der Schule fragten und somit eine Rollendefinition der Mathematik einforderten.

Zudem gilt die Mathematik bei vielen Schülern als ungeliebtes Fach, der Sinn dieses Faches wird nicht einsichtig, das weitverbreitete "Vorratslernen" wird nicht verständlich. In den Augen der Schüler veraltete Inhalte, die nicht auf den Lebensbereich anwendbar sind (z.B. klassische lineare Algebra, Kurvendiskussion, ...) erweckt die Mathematik den Eindruck eines "toten" Fachs (wie Latein).

Aufgrund einer solchen fehlenden Rollendefinition war es einfach, einzelne Teilgebiete der Mathematik zur Disposition zu stellen und dadurch eine entsprechende Stundenkürzung für die Mathematik vorzunehmen; auf ein isoliert betrachtetes Teilgebiet kann man unschwer verzichten mit dem Argument, die dort erlernten Inhalte könnten sich Interessierte später ohne großen Aufwand aneignen. Ohne eine ausreichend genaue und schlüssige globale Rollendefinition der Mathematik ist es schließlich leicht, auf einige Detailaspekte zu verzichten. Erst bei Hinzuziehung einer Metaebene, bei der die einzelnen Lehrplaneinheiten nur Bausteine sind für die Erreichung globaler Ziele der Mathematik, wird jeder Verzicht auf einzelne Lehrplaneinheiten bzw. Unterrichtszeiten schmerzliche Auswirkungen haben. Allerdings kamen in letzter Zeit vereinzelt auch Stimmen auf, die Mathematik wie die anderen klassischen Kernfächer auch wieder als unverzichtbares Element der Allgemeinbildung zu festigen.

Was sind denn die wesentlichen Aspekte der Mathematik?

Mathematik soll sicherlich

Gewiß ist diese Liste unvollständig, aber sie zeigt deutlich, daß Es besteht der Verdacht, daß die Vermittlung der Problemlösefähigkeiten als eine wesentliche Rolle der Mathematik lange Zeit nicht die ihr gebührende Bedeutung erhalten hat; die Vermittlung der Rechentechniken wurde - ohne Hinterfragung - als wesentlicher für die Mathematik angesehen. Diese Entwicklung wird auch in der TIMSS-Studie deutlich, in der den deutschen Schülern - vereinfachend ausgedrückt - deutlich schwächere Problemlösefähigkeiten zugestanden werden, gleichwohl sie in bestimmten (eingeübten) Problembereichen, die Rechentechniken erfordern, Vorteile haben.

Fatal an der Überbetonung der Rechentechniken ist nun die Entwicklung der Computeralgebra-Systeme, die den Schülern gerade diese Rechentechniken abnehmen. Es besteht wohl Einigkeit, daß diese CA-Systeme in den Mathematikunterricht eindringen werden, und allseits werden Bedenken geäußert: Die Mathematik werde dadurch schwerer für die Schüler, weil

Genau dies sind jedoch die Argumente, die nur dann tragen können, wenn die Rechentechniken im Vordergrund mathematischer Schultätigkeit sind. Und in der Tat verlangt die Mathematik- Abiturprüfung im a-Teil von den Schülern im Wesentlichen nur rechentechnische Fertigkeiten. Es ist daher zu hoffen, daß gerade die CA-Instrumente die Gewichtungen bei den Mathematikaufgaben verlagern helfen weg von den rechentechnischen Überprüfungen hin zu der Einforderung eines Repertoires an Problemlösefähigkeiten.

Dadurch müssen allerdings die Aufgaben nicht zwangsläufig schwerer werden, auch hier wird sich im Lauf der Jahre eine gewisse Schematisierung ausbilden; auch die Modellierung und Problemlösung kann (bis zu einem bestimmten Grad) trainiert werden.

Sicherlich benötigt das Erlernen der Bedienung des Rechners Zeit, aber dieser Aufwand kann wettgemacht werden, wenn die übergewichtige Einübung von Rechentechniken, die anschließend nicht mehr in diesem Maß erforderlich sind, reduziert wird auf ein solides Fundament (z.B. Gleichungslöse-, Ableitungs-, Integrations- und Kurvendiskussionstechniken könnten auf einen geringeren Umfang gebracht werden). Außerdem geht die Bearbeitung einer gestellten Aufgabe mit Computerunterstützung anschließend sicherlich schneller vonstatten als bei der Zu-Fuß-Rechnung.

Die Aufgabenbearbeitung wird durch eine größere Realitätsnähe wohl um einiges (in den Termen) komplizierter und undurchschaubarer, ein wesentliches Lernziel ist jedoch auch die Vereinfachung einer Aufgabenstellung zur Gewinnung von Einsicht in den Lösungsweg. Insofern ist die Lösungsstrategie der Weglassung bzw. Vereinfachung bestimmter Voraussetzungen und damit eine gezielte (vorläufige) Vereinfachung der Aufgabenstellung zur Erkenntnisgewinnung wohl das adäquate Mittel, um den Überblick bei komplizierteren Sachverhalten zu behalten. Und anschließend - wenn der Lösungsalgorithmus verstanden ist - stören die komplizierteren Terme nicht mehr. Weiterhin ist sicherlich die Überprüfung einer Problemlösung (Probe bzw. Überschlagsrechnung bzw. Realitätskontrolle) besser einforderbar, wenn die Rechnung, die vom Computer geliefert wird, nicht mehr in allen Einzelheiten nachvollzogen wird.

Neue Akzente im Mathematikunterricht

Im folgenden werden einige Aufgaben aufgezeigt, die diesen o.g. Forderungen genügen, die hinreichend offen sind und dadurch dem Schüler nicht seinen Problemlösungsweg vorgeben, die andererseits aber durch ihre Anwendungsorientierung entsprechend motivierend sind. Gerade auf dem Gebiet anwendungsorientierter Aufgaben wird sich ein großer Bereich an Aufgabenstellungen eröffnen, da in der Vergangenheit die konträren Eckpunkte "Realitätsnähe" und "Lösbarkeit bzw. Aufwand für die Problemlösung" durch CA-Systeme etwas vereinbarer werden könnten.

Das CA-Instrument wird also hoffentlich dazu beitragen, die Problemlösefähigkeit der Schüler zu fördern, indem in einem Unterricht mit CAS eine beträchtliche Unterrichtszeit, die bisher zum Einüben der Rechentechniken verwendet worden ist, nun zu dem eher kreativen Problemlösen verwendet werden kann.

Einhergehen mit der Verlagerung der Schwerpunkte wird auch der Einzug anderer Unterrichtsformen, der sich in den Versuchs-Grundkursen Computeralgebra, die nun ins fünfte Jahr gehen, deutlich herauskristallisiert hat.

Die dort gängige Sozialform ist je nach Gruppengröße und Aufgabenstellung Einzel- oder Partnerarbeit (bisweilen auch Gruppenarbeit). Als Medien werden vorwiegend Arbeitsblätter zum Einsatz kommen.

Der weitaus am häufigsten anzutreffende Unterrichtsablauf (Doppelstunde) einer typischen Grundkurs- CA-Stunde sieht (zumindest bei mir) folgendermaßen aus (Zeiten je nach Aufgabenstellung stark variabel):

Hier wird deutlich, daß der herkömmliche Frontalunterricht in weiten Teilen der Doppelstunde ausgedient hat; die Schüler lernen am Problem selbst, das geführte Entdecken eines Algorithmus, einer Formel, eines Satzes usw. tritt zurück zugunsten der Team- bzw. Partnerarbeit am Problem; der Lehrer wird mehr zum Moderator des Problemlöseprozesses, hilft bei Sackgassen, koordiniert die Arbeit in den einzelnen Gruppen und wird so stärker zum Lernpartner der Schüler. Selbstredend wird es natürlich auch in der Zukunft noch die herkömmlichen lehrerzentrierten Erarbeitungsphasen geben, aber die Vielfalt in der Unterrichtsgestaltung wird eher größer werden.

Eine wesentliche Vorbedingung für das Gelingen dieser team- und schülerorientierten Arbeitsform ist dabei sicherlich, daß die Schüler für diese Arbeit motiviert sind. Sie müssen ohne äußeren Druck und Zwang - motiviert durch die Aufgabenstellung und die Arbeitsathmosphäre - an den Aufgaben interessiert sein. Durch ansprechende und im Schwierigkeitsgrad adäquate Aufgabenstellungen kann man die Schüler "packen"; die Schüler haben selbst das Interesse an der Lösung des Problems und "beißen" sich an der Aufgabenstellung fest.

Die anschließende Vorstellung der Problemlösung fördert die Argumentationsfähigkeit der Schüler, erzieht diese zur ansprechenden Aufbereitung von Problemlösungen und bietet die Möglichkeit von Kurzreferaten. Selbstverständlich ist der Ausbau dieses Aufgabentyps bis hin zu Facharbeiten denkbar.

Aufgabenbeispiel 1:

Ein Sattelschlepper soll ein Brückenbauteil auf einem Auflieger transportieren. Der Auflieger hat einen nahezu rechteckigen Grundriß mit den Abmessungen 16,30m x 2,80m .

Die kritischste Stelle des Transportwegs ist eine rechtwinklige Abzweigung von der insgesamt (Hausfront bis Hausfront) 8,80m breiten Hauptstrasse in eine insgesamt (Hausfront bis Hausfront) 6,20m breite Nebenstraße.

Es stellt sich die Frage, ob diese Abzweigung für den Sattelschlepper passierbar ist, wenn man davon ausgehen kann, daß die Hinterachsen des Aufliegers unabhängig lenkbar sind.

Je nach Kenntnisstand der Schüler kann man diese nach einer mehr oder weniger intensiven Vorbesprechung und Abklärung der Sachverhalte allein auf die Problemlösungsfindung schicken.

Faszinierend an dieser Aufgabe ist die Offenheit der Problemlösung; hier ist sowohl ein trigonometrischer Ansatz als auch die Verwendung von Geradengleichungen denkbar. Wichtig ist, daß die Schüler die entsprechenden Grundkenntnisse (Trigonometrie!) besitzen und die Fähigkeit haben, sich für einen voraussichtlich erfolgreichen Weg zu entscheiden.

1. Lösungsansatz:

1. Loesungsansatz

Von einem Rechteck mit gegebener Breite B, welches an drei Stellen Kontakt mit einer Wand besitzt, wird in Abhängigkeit von a die Länge bestimmt. Unter Verwendung der obenstehenden könnte die Lösung so erfolgen, wie in hier herunterladbarem Maple-Arbeitsblatt realisiert!

2. Lösungsansatz

Stellt man obige Skizze in ein Koordinatensystem mit dem Ursprung in der linken Wandecke, kann man für die nach rechts oben weisende Rechteckseite eine Geradengleichung mit m und c als Parameter aufstellen. Diese Gerade schneidet die "Wände" in zwei Punkten. Mittels gegebener Rechtecklänge L läßt sich eine Abhängigkeit zwischen m und c herausarbeiten, sodaß nach Auflösung dieser Gleichung nach c und Einsetzen in die Geradengleichung die Gerade nur noch von m abhängt. Von der Geradenschar läßt sich in Abhängigkeit von m der Abstand zum Ursprung berechnen und anschließend minimieren. Ergibt sich ein kleinerer minimaler Abstand als die Breite des Rechtecks, dann paßt der Sattelschlepper nicht um die Ecke.

Die Aufgabe umfaßt somit

Wem diese Aufgabe als etwas zu schwierig für Schüler erscheint (in Grundkursen CAS wurden bisher immer Problemlösungen gefunden), bietet sich auch folgende einfachere Aufgabe an:
Bild zu Aufgabe 2

Aufgabenbeispiel 2:

Ein quadratischer Tisch mit der Kantenlänge 1m steht in einer Abstellkammer mit gleichschenklig- rechtwinkliger Grundfläche.

Bestimme durch Rechnung, welche Abmessungen die Abstellkammer mindestens haben muß, damit man den Tisch innerhalb dieser Kammer gerade noch drehen kann (wobei stets zwei Ecken an den Katheten entlanggeführt werden)!

Der Nachteil dieser Aufgabe besteht wohl darin, daß die Offenheit des Problemlösungswegs nicht mehr in dem Maße wie in Aufgabe 1 gegeben ist; hier werden die Schüler wohl nicht auf einen trigonometrischen Ansatz verzichten können.

Ein denkbarer Ansatz für diese Aufgabe ist folgender:

Beschreibe die Hypotenuse durch eine Gerade der Form y=-x+c und wähle c so, daß die Gerade die "äußerste" Ecke des Quadrats enthält. Bei Wahl des Winkels a zwischen der x- Achse und einer Quadratseite läßt sich ein Zusammenhang zwischen a und c erarbeiten:

Für die Koordinaten des Eckpunktes des Quadrats ergibt sich:
B( cos a | sin a + cos a ) . Dieser Eckpunkt liegt auf der Geraden y = -x + sin a + 2 cos a.
Minimierung von c = sin a + 2 cos a. liefert Ö3,2 für die Kathetenlänge und somit Ö6,4 für die Hypotenuse.

Eine durchaus auch "zu Fuß" bearbeitbare Aufgabe!

Skizze zu Aufgabe 3

Aufgabenbeispiel 3:

("Rettungsschwimmer" oder "Brechungsgesetz" )
Nebenstehend sieht man das Luftbild eines Strandes. Auf der Position A befindet sich ein Rettungsschwimmer, der im Wasser auf Position B einen hilfesuchenden Menschen sieht, den er möglichst schnell erreichen muß. Auf dem Land legt er pro Sekunde 7m zurück, im Wasser schafft er dagegen pro Sekunde nur 1,2m. An welcher Stelle sollte er ins Wasser springen, um möglichst schnell bei dem Menschen zu sein?

Bei Parametrisierung dieser Aufgabe durch die Einsprungstelle x läßt sich die Gesamtzeit in Abhängigkeit von x bestimmen und anschließend minimieren.

Skizze zu Aufgabe 4

Aufgabenbeispiel 4:

Parabolspiegel werden zum Empfang von Satellitensendungen bzw. zum Empfang anderer elekromagnetischer bzw. optischer Signale verwendet. Parabolspiegel besitzen eine Oberfläche, die im Querschnitt einen parabelförmigen Verlauf besitzt. Diese parabolische Oberfläche hat die Eigenschaft, daß achsenparallel einfallende Strahlen so reflektiert werden, daß sie durch einen gemeinsamen Punkt - den Brennpunkt - verlaufen. Dort kann dann ein Empfänger postiert werden, der die "gebündelten" Signale auffängt und verstärkt.

Wir betrachten hier einen Parabolspiegel, der den Durchmesser d bzw. den Radius r=d/2 sowie eine Höhe h besitzt (siehe Skizze).

Gesucht ist der "Brennpunkt" dieser Parabel.

Von hier (anklicken, speichern und mit Maple anschauen!) kann eine Maple-Lösung heruntergeladen werden.



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Letzte Aktualisierung dieser Seite: 31.08.2003