Oberschulamt Karlsruhe - Fachbereich Mathematik
Lehrerfortbildung Computeralgebrasysteme im Mathematikunterricht

Einsatzmöglichkeiten in der Oberstufe

Wir stehen an der Schwelle zu einem neuen Zeitalter in der Mathematik, ob wir es begrüßen oder nicht!

Vor 30 Jahren waren mangels elektronischer Unterstützung Logarithmentafel und Rechenschieber die intensiv genutzten Rechenhilfsmittel in der Mathematik. Unvermeidlich wurde aus diesem Grund eine besondere Betonung auf hierbei wesentliche Rechenfertigkeiten gelegt; insbesondere Logarithmengesetze, Vereinfachen von Wurzeltermen, geschickte Bearbeitung von Bruchtermen wurden intensiv eingeübt. In noch früherer Zeit spielte sogar das schriftliche Wurzelziehen eine wichtige Rolle (diese Fähigkeit wird heute höchstens noch in Mathematik-AGs angesprochen!).

All diese Fertigkeiten sind in den vergangenen Jahren stark zurückgedrängt worden, da diese Tugenden im Zeitalter des Taschenrechners praktisch nicht mehr benötigt werden. Interessant sind heute lediglich noch die Prinzipien, auf eine intensive Einübung der Rechentechniken kann jetzt verzichtet werden (und dieser Verzicht ist heute auch allgemein anerkannt und akzeptiert!).

Derzeit sind im Mathematikunterricht der Einsatz des Taschenrechners und der Formelsammlung vergesehen. Aus diesem Grund sieht der derzeige Lehrplan auch eine intensive Beschäftigung mit den Rechenfertigkeiten vor, die der Taschenrechner nicht übernehmen kann. In der Oberstufe z.B. wird ein großes Gewicht auf die Kurvendiskussion gestellt, da diese Tätigkeiten - auch bei Benutzung des Taschenrechners und Formelsammlung - nur von Hand realisierbar sind.

Völlig anders stellt sich die Lage dar, wenn man die nun auf den Markt drängenden Computeralgebra-Taschenrechner und -Rechner betrachtet. Diese können einen Großteil der heute üblichen Kurvendiskussion übernehmen; auch viele b-, c- und d-Teile von aktuellen Abituraufgaben sind mit Hilfe eines CAS schnell bearbeitbar, wenn der Lösungsweg für die Aufgabenstellung erst einmal gefunden ist.

Die unvermeidliche Forderung, wenn diese CA-Instrumente eine ähnliche Verbreitung finden wie die heutigen Taschenrechner, kann nur sein, daß die Mathematik sich dieser Entwicklung anpassen muß. Man wird in wenigen Jahren nicht mehr umhinkönnen, den CA-Rechner als alltägliches Hilfsmittel im Unterricht zu akzeptieren.

Das CA-Instrument wird hierbei - analog zum Vordringen des Taschenrechners in den Mathematikunterricht - an den geeigneten Stellen die manuellen Fertigkeiten der Schüler ersetzen und die Lösung dieser schematischen Aufgabenteile übernehmen.

Was jedoch unabdingbar beizubehalten sein wird, ist die Forderung nach dem Verständnis des Tuns: Wie wir auch heute von jedem Schüler noch verlangen, daß er (z.B. durch Intervallschachtelung) die Bedeutung der Wurzel kennt und (nötigenfalls) eine Wurzel manuell näherungsweise bestimmen kann, werden wir auch in Zukunft vom Schüler das Verständnis der Kurvendiskussions-Elemente einfordern. Lediglich die manuelle und schematische Bestimmung dieser Elemente wird man einem schnelleren und geeigneteren CA-System überlassen.

Auch im derzeit gültigen Lehrplan aller Oberstufenklassen wird in der Hinweisspalte an mehreren Stellen bereits der Einsatz eines Rechners empfohlen. Ein Computeralgebrasystem kann jetzt schon an vielen dieser Stellen die geeignete Wahl darstellen.

In der Hand des Lehrers bietet das CA-Instrument aufgrund seiner Schnelligkeit unvergleichliche Vorteile; in der gleichen Zeit können auf spielerische und experimentelle Weise eine Vielzahl von Fällen durchprobiert werden und so durch Entwicklung eines Gefühls für den Lerngegenstand Vertrautheit mit diesem und damit auf unterer Ebene Verständnis für den mathematischen Gegenstand gewonnen werden. Hierbei bietet die Verwendung immer des gleichen Instruments den Vorteil, daß die Schüler mit dem Medium bereits vertraut sind.

Bereits mit sehr wenigen Befehlen können die entsprechenden Lernziele erreicht werden, sodaß - je nach Qualität der Klasse - durchaus auch Schülerarbeit am Rechner angezeigt sein kann.

Selbstredend darf der Rechner nicht das Verständnis für den mathematischen Lerngegenstand ersetzen. Von den Schülern ist weiterhin die Kenntnis des mathematischen Hintergrunds einzufordern. Aber an vielen Stellen kann der Rechner den Schülern vertraute Operationen deutlich schneller und in vielfacher Weise durchführen und somit durch die erhöhte Anschaulichkeit und eine Vielzahl durchexerzierter Beispiele das Verständnis der Schüler fördern.

Im folgenden werden einige Unterrichtseinheiten der Oberstufenmathematik aufgezählt, die sich besonders gut für den Einsatz eines Computeralgebrasystems eignen.

Die Eignung des Systems bezieht sich hierbei auf verschiedene Komponenten:

ThemaBinomialverteilung (Kl. 11)
ZielAnschauliche Darstellung der Binomialverteilung, insbesondere für größere n
Anschaulicher Zugang zur Globalen Näherungsformel für die Binomialverteilung
Vorteile des CASSchnelle Darstellung vieler Binomialverteilungen, auch für große n;
denkbar ist auch eine Animation mit variablem p oder mit wachsendem n
Beispielwith(student):
n:=10;
leftbox(binomial(n,k),k=0..n+1,n+1,color=white);
UnterrichtsformDemonstration in der Hand des Lehrers, u.U. auch vorbereitetes Worksheet mit einer Prozedur binomial(n,p), wo die Schüler die Übergabewerte variieren können

Thema"Kurvendiskussion" (Kl. 11)
ZielÜberprüfung z.B. der Hausaufgaben, Finden einer geeigneten Funktion bei der Unterrichtsvorbereitung (in der Hand des Lehrers)
Vorteile des CASIn der Hand des Lehrers ist das CAS ein Werkzeug, das eine schnelle Standard-Kurvendiskussion ermöglicht und dem Lehrer zeitaufwendige Routinearbeiten abnimmt
Beispielf:=x->x^3+2*x;
f1:=D(f);
f2:=D(f1);
Nullstellen := solve(f(x)=0,x);
Extremstellen := solve(f1(x)=0,x);
Wendestellen := solve(f2(x)=0,x);
plot(f(x),x=-4..4);
Unterrichtsformin der Hand des Lehrers, ggf. im Unterricht CAS als Überprüfungsinstrument der manuellen Rechnung

ThemaAufstellen ganzrationaler Funktionsterme (Kl. 11)
ZielAnhand von vorgegebenen Funktionseigenschaften stellen die Schüler ein Gleichungssystem für die Polynomkoeffizienten auf. Der Rechner übernimmt die Aufgabe des Lösens dieses Gleichungssystems
Vorteile des CASDas Lösen von Gleichungssystemen kann vom Computer viel schneller erledigt werden als vom Schüler.
Variation der Bedingungen ergibt schnelle Ergebnisse
Beispielf:=x->a*x^3+b*x^2+c*x+d;
f1:=D(f);
f2:=D(f1);
Bedingung1:= f(3)=2;
Bedingung2:=f1(1)=0;
Bedingung3:=f2(3)=0;
Bedingung4:=f(1)=5;
solve({Bedingung1,Bedingung2,Bedingung3,Bedingung4},{a,b,c,d});
Loesung := unapply (subs(",f(x)),x);
UnterrichtsformArbeitsblatt mit Einzel- bzw. Partnerarbeit am Rechner

ThemaEinführung in gebrochen-rationale Funktionen (GK, LK)
ZielEntwickeln eines Gefühls für das Verhalten von gebrochen-rationalen Funktionen an den Definitionslücken und für |x|->Unendlich
Vorteile des CASDie Schüler können sehr schnell Schaubilder erstellen und somit ganze Funktionsklassen untersuchen, Gemeinsamkeiten herausfinden und dabei typische Eigenschaften gebrochen- rationaler Funktionen "entdecken".
Besonders geeignet sind hierfür die Themen Symmetrie, Verhalten für |x|->Unendlich, Verhalten an den Polstellen, Näherungskurven (zweiter und höherer Ordnung), ...
Beispielf:=(x^2-5*x) / (x+4);
plot(f(x),x=-5..5);
UnterrichtsformArbeitsblatt mit Einzel- bzw. Partnerarbeit
Hilfmittel in der Hand des Lehrers bei der Einführung neuer Begriffe (Polstelle, Asymptote, ... )

ThemaAnschauliche Bedeutung der Ableitungsfunktionen (Kl. 11)
ZielAnhand der gemeinsamen Darstellung der Schaubilder von f, f und f sollen die Schüler Zusammenhänge zwischen diesen drei Funktionen verstehen und beschreiben können.
Vorteile des CASDie Schüler können sehr schnell von einer Vielzahl von Funktionen die drei Schaubilder erstellen und anhand vieler Beispiele die wesentlichen Zusammenhänge zwischen den drei Funktionen ersehen.
Auf Wunsch kann der Lehrer eine Animation für die dynamische Veränderung der Sekante bei Annäherung an den Berührpunkt erstellen.
Beispielf:=x->x^3-4*x+5;
f1:=D(f);
f2:=D(f1);
plot({f(x),f1(x),f2(x)},x=-5..5);
UnterrichtsformArbeitsblatt
evtl. vorgegebenes Worksheet

ThemaHinführung zur Ableitung einer Funktion (Klasse 11)
ZielDie Schüler erkennen anschaulich den Grenzwertübergang von der Steigung der Sekante zur Tangentensteigung.
Vorteile des CASFür verschiedene Dx können schnell die Sekantensteigungen errechnet werden.
Die graphische Darstellung der Steigungsdreiecke bietet Anschaulichkeit
Beispielwith(plots):
f:=x->x*(x-4)^2+3;
f1:=D(f);
s:=(x,z) -> (f(z)-f(3)) / (z-3) * (x-3) + f(3);
animate({f(x),s(x,z)},x=0..8,z=3.01..8,frames=50,color=black);
UnterrichtsformVorbereitetes Worksheet
U.U bietet eine Animation auch die Möglichkeiten eines Trickfilms
Unterrichtsgespräch mit Lehrerarbeit am Rechner und Projektion
u.U. auch Arbeitsblätter mit Einzel- oder Partnerarbeit

ThemaFolgen, rekursive Folgen (LK 12)
ZielEntwickeln eines Gefühls für das Verhalten von Folgen für n anhand graphischer Darstellungen
Lösen einer Rekursion
Entwicklung von Summenformeln (Beweis anschließend über vollständige Induktion)
Vorteile des CASDarstellung einer Vielzahl von Folgen (d.h. Variationsmöglichkeiten) in kürzester Zeit
Lösen einer Rekursion auf Knopfdruck
Bestimmen von Summenformeln, die anschliessend über vollständige Induktion bewiesen werden können
Die Bestimmung einer Reihe wird bei der Integralrechnung - ebenfalls mit CA- System - wieder aufgegriffen
Beispiel1. rsolve({f(1)=1,f(2)=1,f(n)=f(n-1)+f(n- 2)},f(n));
2. f := n -> sin(n) / n ;
limit (f(n), n=infinity);
UnterrichtsformArbeitsblatt mit Einzel- bzw. Partnerarbeit am Rechner

ThemaNewton-Iteration (GK, LK) (allgemeines Iterationsverfahren)
ZielAnschauliche Darstellung des Newton- Verfahrens
Iterative Bestimmung der Lösung einer Gleichung am Rechner
Vorteile des CASGraphische Darstllung auf Knopfdruck möglich
Unterstützung bei der Auflösung der Gleichung
Beispiel1. f1 := D(f);
phi := x-> x - f(x) / f1(x) ;
x1 := 5;
for i from 1 to 15 do
x1 := evalf(phi(x1))
od;
2. newton := proc (f,x0,n,x_Bereich,y_Bereich)
local k, Plotmenge, x1, x2, t1, f1;
x1 := x0;
f1 := D(f);
with (plots):
Plotmenge := {plot(f(x),x=x_Bereich,y=y_Bereich,thickness=2)}:
for k from 1 to n do
t1:=unapply(f1(x1)*(x-x1)+f(x1),x);
x2 := x1 - f(x1) / f1(x1);
Plotmenge := Plotmenge union {plot(t1(x),x=x_Bereich,color=green)};
Plotmenge := Plotmenge union {
plot([[x1,f(x1)],[x2,0],[x2,f(x2)]],color=blue,thickness=2)};
Plotmenge := Plotmenge union
{ plot([[x1,f(x1)],[x1,f(x1)]],style=point,
symbol=box,thickness=3,color=black)};
x1 := x2
od;
display(Plotmenge)
end:

newton (x->x^2-4,9,2,0..10,-5..80);
UnterrichtsformUnterrichtsgespräch mit Lehrerarbeit am Rechner (vorbereitetes Worksheet) und Projektion
evtl. Einzel- bzw. Partnerarbeit mit Arbeitsblatt (unter Verwendung des vorbereiteten Worksheets des Lehrers)
U.U. erscheint hier auch die Möglichkeit des Trickfilms (Animation) sinnvoll.

ThemaDifferentialgleichungen (LK)
ZielErstellen eines Richtungsfelds
Lösen von schwierigeren Differentialgleichungen mit anschließender graphischer Ausgabe der Lösung
Vorteile des CASEinfaches Erstellen eines Richtungsfelds auf Knopfdruck
Lösen von schultypischen Differentialgleichungen auf Knopfdruck
Anschließende graphische Ausgabe auf Knopfdruck
Beispiel (begrenztes Wachstum)1. DGL := diff(f(x),x)= 6 - 1/3* f(x);
dsolve ({DGL , f(0)=0},f(x) );
2. dfieldplot(diff(y(x),x)=3-y(x)/2,y(x),x=-3..3,y=-3..2);
with(DEtools);
phaseportrait(diff(y(x),x)=3-y(x)/2,y(x),x=-2.5..1.4,[[y(-1)=1]],y=- 1..7);
UnterrichtsformErstellen von Folien (Richtungsfelder) mit CAS
Unterrichtsgespräch mit Lehrerarbeit am Rechner
Lösen von schwierigeren DGL bzw. schnelle Variation der DGL
Graphische Darstellung der Lösung von DGL

ThemaHinführung zur Integralrechnung (LK)
ZielAnschauliche Bestimmung von Flächen über Unter- und Obersummen
Vorteile des CASDie Eingrenzung einer Fläche mit Hilfe von Unter- und Obersummen stellt den anschaulicheren Zugang zur Integralrechnung (gegenüber dem Einstieg über Stammfunktion und anschließendem Hauptsatz-Beweis) dar. Der Nachteil der Unter- und Obersummen-Betrachtung ist der, daß man sich auf sehr wenige Beispiele beschränken muß, da für jede neue Funktion die Entwicklung der passenden Summenformel erforderlich ist. In der Praxis beschränkt man sich also auf die Betrachtung von ganzrationalen Funktionen bis höchstens 2. Grades. Diese Beschränkung entfällt bei Verwendung des CAS; hier können ganzrationale Funktionen (im Prinzip) beliebigen Grades sowie einige weitere typische Funktionen herangezogen werden. Die Schüler gewinnen so viel eher "Vertrauen" in den zu entdeckten Zusammenhang mit der Stammfunktion
Beispielf:=x->x^2;
a:=1;
b:=3;
n:=5000;
delta := (b-a)/n;
delta * sum( f ( a+delta * (k-1/2)), k=1..n);
UnterrichtsformUnterrichtsgespräch; Entwicklung des Worksheets durch den Lehrer am Rechner mit gleichzeitiger Projektion des Bildschirms

ThemaHerleitung der Simpson-Regel (LK) bzw. Keplersche Faßregel (GK)
ZielErarbeiten der Formel, graphische Darstellung der Näherung
Vorteile des CASDie graphische Darstellung der Sehnen- und Tangentenvierecke ermöglicht eine Veranschaulichung der Vorgehensweise, das Schaubild ermöglicht schnell eine graphische Fehlerabschätzung
Bei der Vereinfachung der Formel kann das CAS auch Routinearbeit abnehmen
Beispiel (Herleitung der Keplerschen Faßregel)delta := (b-a) / n;
stelle := k -> a + k*delta ;
Sn := delta * sum ( (f(stelle(j))+f(stelle(j+1)))/2,j=0..n-1);
S2 := simplify(subs(n=2,Sn));
Tn := 2 * delta * sum ( f(stelle(2*j+1)),j=0..n/2-1);
T2 := simplify(subs(n=2,Tn));
Kepler := factor((2*S2+T2)/3);
UnterrichtsformDemonstration in der Hand des Lehrers

ThemaDefinition der Eulerschen Zahl (GK, LK)
ZielErkennen der Gleichwertigkeit verschiedener Definitionen für e
Vorteile des CASGrenzwertbetrachtungen (Zinseszins- Formel ebenso wie Grenzwert des Differenzenquotienten) können mit dem CAS sehr schnell durchgeführt werden. Auch die Bildung der unendlichen Reihe für e ist leicht realisierbar.
Durch Intervallschachtelung ist beim Differenzenquotienten für f(x)=ax schnell die Basis für f (0)=1 näherungsweise angebbar.
Beispiel1. limit ( (1+1/n)^n , n=infinity);
2. sum (1/n! , n= 0..infinity);
3. f := x-> a^x;
diff(f(x),x);
DQ := (f(x0+delta) - f(x0)) / delta;
expand(");
factor(");
fsolve(limit((a^delta - 1)/delta , delta = 0, right)=1,a);
UnterrichtsformUnterrichtsgespräch mit Lehrerarbeit am Rechner und Projektion des Bildschirms
ggf. Arbeitsblatt für Schülerarbeit am Rechner

Thema[Überlagerung der Sinusschwingungen] (LK)
ZielGraphische Darstellung der Überlagerung von Sinusschwingungen
Vorteile des CASDie schnelle graphische Darstellung ermöglicht eine Vielzahl von Schaubildern in kürzester Zeit
Beispielplot( { sin(2*x) + sin( 3*x) , sin(2*x), sin(3*x) } , x=0..5*Pi);
UnterrichtsformDemonstration in der Hand des Lehrers

ThemaLineare Gleichungssysteme (LK 12)
ZielLösen zeitaufwendiger Gleichungssysteme, Durchführen aufwendiger Matrizenmultiplikationen
Vorteile des CASAuf Knopfdruck kann das CAS lineare Gleichungssysteme lösen; damit bietet sich im CAS ein Kontrollinstrument z.B. für die Hausaufgaben
Bei mehrstufigen Prozessen können auch aufwendigere Modelle realisiert werden
BeispielBefehle aus dem linalg-Paket
Unterrichtsformi.d.R. Demonstration in der Hand des Lehrers

ThemaWahlthemen (LK 13)
ZielUnterstützung bei Routinetätigkeiten
Vorteile des CASEinsatzmöglichkeiten bei den Themen:
Normalverteilung
Markoff-Ketten
Chaos und Fraktale
Gewöhnliche Differentialgleichungen
Numerische Mathematik
Komplexe Zahlen
Beispielabhängig vom gewählten Wahlthema
Unterrichtsformvariabel


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Letzte Aktualisierung dieser Seite: 31.08.2003