Oberschulamt Karlsruhe - Fachbereich Mathematik
Lehrerfortbildung Computeralgebrasysteme im Mathematikunterricht

Vorschlag 4 : Differentialgleichungen

Einführung:

Das Thema kann am einfachsten am Beispiel von Physik-Aufgaben erläutert werden:
  1. Ein Wagen fährt mit der konstanten Geschwindigkeit von 7 m/s. Wie verläuft seine weitere Bewegung ?
    Mathematisiert bedeutet dies, daß seine Ortsveränderung pro Sekunde 7 m beträgt oder anders ausgedrückt: Wenn s(t) den Ort des Wagens zur Zeit t angibt, beträgt die Ableitung des Ortes s nach der Zeit konstant 7 (m/s) .
    Diese Wachstumsform nennt man lineares Wachstum.
  2. Ein Wagen, der zunächst still steht, erhöht seine Geschwindigkeit pro Sekunde um 4 m/s. Wie verläuft seine weitere Bewegung ?
    Mathematisiert bedeutet dies: Die Geschwindigkeitszunahme pro Zeit beträgt 4 m/s oder anders ausgedrückt : Wenn v(t) die Geschwindigkeit des Wagens zur Zeit t ist, dann ist die Ableitung von v nach der Zeit konstant 4 m/s2 (die Physiker nennen dies dann Beschleunigung); außerdem gilt eine Nebenbedingung, daß nämlich die Geschwindigkeit zur Zeit t=0 Null ist: v (0)=0.
    Gemäß Aufgabe 1 ist die Geschwindigkeit v die Ableitung von s, sodaß sich insgesamt die Bedingung s(t) = 4 (m/s2) mit der Nebenbedingung s(0)=0.
  3. Eine Bakterienkultur vermehrt sich so,daß der Bestand in jeder Sekunde um 1,3 o/oo zunimmt.
    Dieses Wachstum bezeichnet man als exponentielles Wachstum.
    Bezeichnet B(t) den Bestand zur Zeit t, dann gilt für die Wachstumsgeschwindigkeit von B die Differentialgleichung B(t) = 0,0013B(t) .
  4. Bei einem bestimmten radioaktiven Zerfall zerfällt in jeder Sekunde 1o/oo der aktuell vorhandenen Masse.
    Bezeichnet m(t) die Masse zur Zeit t, dann gilt hierfür : m(t) = 0,001 m(t) .
  5. Auf einem Areal, das maximal 20000 Individuen (z.B. Ameisen) Lebensraum bietet, befinden sich anfangs 12000 Individuen. Pro Tag nimmt die Individuenzahl um 0,5% der noch freien Kapazität zu. Diese Wachstumsform nennt man beschränktes Wachstum.
    Bezeichnet N(t) die Individuenzahl, dann gilt : N(t) = 0,005 ( 20000 - N(t) ).
  6. Wenn bei Aufgabe 5 anfangs nur 120 Individuen anzutreffen sind, dann spüren diese die Kapazitätsgrenze zunächst noch nicht; in diesem Anfangsstadium kann das Wachstum zunächst als exponentiell angesehen werden, erst allmählich geht dieses exponentielles Wachstum in begrenztes Wachstum über.

    Eine mögliche Beschreibung dieser Wachstumsform ist durch folgende Differentialgleichung möglich : N(t) = aN(t)[ 20000-N(t) ]. Diese Wachstumsform heißt dann logistisches Wachstum. Viele Wachstumsformen in der Natur entsprechend dieser Beschreibung, wenngleich diese auch oft nicht ganz genau die Realität beschreibt.

Im folgenden kommen nun eine Reihe von Aufgaben, die mit dem CAS bearbeit und dokumentiert werden soll.

Der hierfür zu verwendende Befehl heißt : dsolve ( <Differentialgleichung>, Funktionsvariable ).
Bei der Differentialgleichung wird hierbei N(t) geschrieben als : diff(N(t),t) . Die Funktionsvariable wäre in diesem Beispiel die Zeit t.

Aufgaben:

  1. Stellen Sie - soweit noch nicht angegeben - die Differentialgleichungen für die Beispiele 1-6 auf. Lösen Sie diese mittels des dsolve-Befehls.
    Geben Sie die Lösung graphisch aus.
    Beurteilen Sie die Angemessenheit der Lösung.
    Variieren Sie die Zahlenwerte; beachten Sie die Änderungen bei den Lösungsfunktionen.
  2. Die Bakterienkultur aus Beispiel 3 besteht zur Zeit t=0 aus 10000 Bakterien.
    Wann wird diese 106 Bakterien erreichen ?
    Wie lange dauert es, bis die Bakterienkultur aus Beispiel 3 ihren Bestand verdoppelt hat ?
    Wann sind bei Beispiel 4 von 30g radioaktiver Masse 50% zerfallen (=Halbwertszeit) ?
    Wann wird im Beispiel 5 eine Individuenzahl von 19000 erreicht werden ?
    Wann wird im Beispiel 6 eine Individuenzahl von 10000, wann 19000 erreicht werden ?
    Zu welchem Zeitpunkt wächst die Individuenzahl am schnellsten ?
  3. Machen Sie sich den Unterschied zwischen folgenden Bedingungen klar:
    - Eine Bakterienkultur wächst in einem Tag um 7200 %
    - Eine Bakterienkultur wächst in einer Stunde um 300 %
    - Eine Bakterienkultur wächst in einer Minute um 5 %.
    - Eine Bakterienkultur wächst zu jedem Zeitpunkt um 5% / Minute ( = 300% / Stunde = 7200% / Tag)
  4. Zu Beginn der Beobachtung gab es auf einem (unbegrenzten) Areal 112 Mäuse, 8 Wochen später befanden sich bereits 350 auf diesem Areal.
    Beschreiben Sie die Wachstumsform geeignet.
    Wann werden 1000 Mäuse erreicht sein ?
    Lösen Sie diese Aufgabe, wenn das Wort "unbegrenzt" durch "Maximalkapazität 3000 Mäuse" ersetzt wird.
  5. Auf einem Areal wurden zu Beginn der Beobachtung 18 Mäuse ausgesetzt. Nach 4 Monaten befanden sich bereits 125 Mäuse darauf, und nach weiteren 4 Monaten sogar 340. Beschreiben Sie die Populationsentwicklung mathematisch, und geben Sie eine Prognose für die Maximalzahl von Mäusen ab.
  6. Bei der harmonischen Schwingung (z.B. Schwingung einer Feder) ist die Rückstellkraft proportional zur Auslenkung s der Feder. Hierbei ist die Rückstellkraft proportional zur Beschleunigung (=Geschwindigkeitsänderung / Zeit), sodaß sich insgesamt m s(t) = - D s(t) ergibt. D ist die sogenannte Federhärte, m ist die Masse des Schwingkörpers.
    Lösen Sie die Differentialgleichung für m=2 kg und D=6 N/m.
    Zeichnen Sie ein Schaubild dieser Schwingung.
    Wie groß ist die Schwingungsdauer (=Periode der Schwingung) ?
    Lösen Sie diese Aufgabe auch für den Fall von Gleitreibung: s(t) = - D/m s(t) - c s(t)
    Variation: Die Reibung ist proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit (Luftreibung).


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Letzte Aktualisierung dieser Seite: 31.08.2003