Oberschulamt Karlsruhe - Fachbereich Mathematik
Lehrerfortbildung Computeralgebrasysteme im Mathematikunterricht

Vorschlag 2 : Näherungsgerade

Einführung:

In den Naturwissenschaften werden oft Meßreihen durchgeführt, bei denen eine Meßgröße in Abhängigkeit einer anderen (Vorgabe-) Größe bestimmt wird. Vorstellbar ist z.B. die Messung der Rückstellkraft bei einer Feder in Abhängigkeit von deren Auslenkung o.ä. Werden nun diese Meßpunkte in ein Koordinatenkreuz eingezeichnet (Vorgabegröße als x-Werte, Meßgröße als y-Werte), so kann man aus der Lage der Punkte oft eine Beziehung zwischen den beiden Größen entnehmen. Liegen die Punkte z.B. näherungsweise auf einer Geraden, so wird man die Vermutung eines linearen Zusammenhangs haben.

In diesem Problembereich wird es nun unsere Aufgabe sein, in diesem linearen Fall diejenige Gerade zu finden, die den Verlauf der Punkte am besten beschreibt.

Hierbei wird diejenige Gerade als optimal bezeichnet, die (summarisch) allen Punkten am "nächsten" ist.

Hinweise:

  1. Verwenden Sie bei der Erstellung des Maple-Arbeitsblattes am besten eine Variable n, die die Anzahl der verwendeten Punkte speichert; damit können Sie das Arbeitsblatt leicht auf andere Punktanzahlen umbauen.
  2. Bearbeiten Sie nachfolgende Arbeitsaufträge zunächst mit den vorgegebenen Punkten B1 (47), B2 (79), B3 (811), B4 (1116), B5 (1318). Bestimmen Sie hierfür die optimale Gerade.
  3. Wenn Sie in den Aufgaben 3) bis 5) den Lösungsweg für die vorgegebenen Punkte realisiert haben, versuchen Sie eine Verallgemeinerung mit n Punkten A1 bis An.
  4. Im ersten Fall der konkret angegebenen Punkte ist es günstig, die Koordinaten der Punkte als Matrix, z.B. in der Form
    p:=array(1..5,1..2,[[4,7],[7,9],[8,11],[11,16],[13,18]]);
    einzugeben.
    Auf einzelne Koordinaten kann mit dem Befehl p[i,1] bzw. p[i,2]
    zugegriffen werden. Im allgemeinen Fall mit n Punkten ist es vielleicht günstiger, die x-Koordinaten der Punkte als Funktion einer Laufvariable unbestimmt zu definieren (z.B. durch "PX := ixwert(i)"). Auf einzelne Koordinaten kann dann z.B. mit PX(i) für die i-te x-Koordinate zugegriffen werden.

  5. Verwenden Sie als Maßzahl für die "Nähe" eines Punktes zu einer Geraden zunächst stets das Quadrat der Differenz der beiden y-Werte an dieser x-Stelle (vgl. Varianz in der Stochastik ! ).

Arbeitsaufträge / Detailinformation:

  1. Zeichnen Sie die gegebenen Punkte zunächst in ein Koordinatenkreuz.
  2. Stellen Sie die Gleichung einer Geraden auf, von der Sie vermuten, daß sie einigermaßen die Lage der Punkte beschreiben könnte. Zeichnen Sie probeweise diese Gerade ein.
  3. Berechnen Sie die Gesamt-"Nähe" der Meßpunkte von dieser Geraden.
  4. Berechnen Sie ebenso die Gesamt-"Nähe" der Meßpunkte von einer beliebigen Geraden g mit g(x):=mx+c.
  5. Gesucht ist diejenige Gerade, die die kleinste "Gesamtnähe" zu den Meßpunkten besitzt. Bei geringfügiger Änderung von m bzw. von c muß diese "Gesamtnähe" größer werden. Leitet man also diese "Gesamtnähe" (als Funktion von m bzw. von c) nach m oder nach c ab, muß dort der Ableitungsterm jeweils 0 sein. Lösen Sie das entstehende 2x2-Gleichungssystem nach m und c auf und bilden Sie mit der Lösung die Gleichung der Geraden g. Zeichnen Sie g in obiges Schaubild ein. Vergleichen Sie mit Ihrer Schätzung!
  6. Zeigen Sie, daß diese optimale Gerade durch den "Schwerpunkt" der Meßwerte geht. Schwerpunkt ist hierbei derjenige Punkt, der als Koordinaten das arithmetische Mittel der Meßpunkt- Koordinaten besitzt.

Hintergrundinformationen:

Weiterführung:

  1. Versuchen Sie nun auch noch eine Lösung für den geometrischen Fall, bei dem die orthogonale Abstands-Quadrat-Summe minimiert werden soll.
  2. Nach Durchführung des Beweises (Aufgabe 6) kann man durch eine einfache Transformation die Lösung - insbesondere für den allgemeinen Fall - vereinfachen: Verschiebt man jeden Meßpunkt und den Schwerpunkt so, daß der Schwerpunkt in den Ursprung gelangt, dann wird die optimale Gerade eine Ursprungsgerade der Form h(x)=mx sein. Schreiben Sie unter Verwendung dieser Tatsache Prozeduren, die mittels der Aufrufe "Steigung (Punkte)" sowie "Abschnitt (Punkte)" die Parameter der optimalen Geraden zurückliefern.
  3. Wie könnte man Meßwerte, die offensichtlich auf einer Parabel mit Scheitel im Ursprung liegen (quadratischer Zusammenhang zwischen Vorgabegröße und Meßgröße, z.B. freier Fall: Fallweg als Funktion der Zeit), transformieren, um die "beste" Parabel hierfür zu finden?


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Letzte Aktualisierung dieser Seite: 31.08.2003