Oberschulamt Karlsruhe - Fachbereich Mathematik
Lehrerfortbildung Computeralgebrasysteme im Mathematikunterricht

Vorschlag 5 : Parabel-Eigenschaften

Einführung:

Parabolspiegel werden zum Empfang von Satellitensendungen bzw. zum Empfang anderer elekromagnetischer bzw. optischer Signale verwendet. Parabolspiegel besitzen eine Oberfläche, die im Querschnitt einen parabelförmigen Verlauf besitzt. Diese parabolische Oberfläche hat die Eigenschaft, daß achsenparallel einfallende Strahlen so reflektiert werden, daß sie durch einen gemeinsamen Punkt - den Brennpunkt - verlaufen. Dort kann dann ein Empfänger postiert werden, der die "gebündelten" Signale auffängt und verstärkt.
Wir betrachten hier einen Parabolspiegel, der den Durchmesser d bzw. den Radius r=d/2 sowie eine Höhe h besitzt (siehe Skizze rechts).

Im folgenden interessieren einige Größen, die Sie zumindest näherungsweise mit einem CA-System bestimmen sollen.
Dieser Vorschlag ist eng mit Vorschlag 1 verknüpft; auch hier werden Bogenlänge und Oberfläche - an einem anwendungsorientierten Beispiel - gesucht.

Fragestellungen:

  1. Gesucht ist der "Brennpunkt" dieser Parabel.
  2. Es interessiert die "Bogenlänge" der Querschnittparabel. Das ist die Länge einer "Schnur", die zwischen zwei gegenüberliegende Punkte des Randes gelegt wird und eng auf der Oberfläche des Parabolspiegels anliegt.
  3. Insbesondere bei Verspiegelungen des Parabolspiegels zum Auffangen optischer Signale (insbesondere auch Sonnenergie) interessiert natürlich die Größe der Oberfläche eines solchen Parabolspiegels.
  4. Bearbeitet werden kann hier auch die mathematische Definition einer Parabel.

Hilfestellungen:

Um Parabolspiegel mathematisch beschreiben zu können, ist es erforderlich, die Querschnittskurve mathematisch zu erfassen.

Um für die Querschnittskurve K, die durch die Funktion f beschrieben werden soll, eine möglichst einfache Form zu finden, legt man sinnvollerweise den Mittelpunkt des Spiegels in den Ursprung. Wir wollen die Parabel nach rechts geöffnet verwenden (Damit wird die erste Fragestellung etwas einfacher zu lösen sein). Dadurch genügt die Randkurve einer Funktionsgleichung der Art f(x)=a sqrt(x). Alternativ bietet sich natürlich auch eine nach oben geöffnete Parabel der Art g(x) = b x^2 an.

Weiterführende Aufgabenstellungen:

1. Bestimmen Sie analog zum Parabolspiegel die Oberfläche einer Kugel mit Radius R.

2. Eine Ellipse genügt der Gleichung x^2/a^2+y^2/b^2=1 mit a,b > 0.

a) Berechnen Sie den Umfang einer Ellipse.
b) Mit e=sqrt(a^2-b^2), a>b, besitzt die Ellipse zwei Brennpunkte F1 (e0) und F2 (-e0). Zeigen Sie, daß alle Strahlen, die von einem Brennpunkt ausgehen, in den zweiten Brennpunkt reflektiert werden. Zeigen Sie weiterhin, daß der Weg von einem Brennpunkt über einen beliebigen Ellipsenpunkt zum zweiten Brennpunkt stets gleich lang ist.
c) Berechnen Sie das Volumen eines Ellipsoids (Dies ist ein "eiförmiger" achsensymmetrischer Körper, der als Querschnitt längs der Achse eine Ellipse hat).

Aufgaben :

Lösen Sie die Aufgaben 1) bis 3) zunächst bei Vorgabe von r=30 (cm) und h=16 (cm). Wenn Sie den Lösungsweg gefunden haben, wiederholen Sie ihn für allgemeines h und r (beide werden dann als positiv vereinbart: assume(r,positive) ). Bestimmen Sie zunächst aus den gegebenen Größen r und h den Parameter a bzw. b der Funktionen f bzw. g.
  1. Bestimmen Sie den Brennpunkt der Parabel, indem Sie einige achsenparallele Strahlen y=p (mit p nichtnegativ) an der Kurve K reflektieren (optische Gesetzmäßigkeit: Einfallswinkel = Ausfallswinkel) und diese Reflexionsstrahlen miteinander schneiden. Überzeugen Sie sich damit, daß ein Brennpunkt existieren könnte. In einem zweiten Schritt sollten Sie allgemein zwei parallele Einfallsstrahlen y=p1 und y=p2, p1 und p2 nichtnegativ, benutzen, um die entsprechenden Ausfallstrahlen zu berechnen. Der allgemeine Schnittpunkt dieser Ausfallstrahlen ist dann der Brennpunkt der Parabel.
  2. "Bogenlänge" : Hier bietet sich an, die Randkurve K in kleine "fast-lineare" Kurvenstücke aufzuteilen, die Längen dieser Kurvenstücke näherungsweise zu berechnen und diese Längen zu summieren. Vielleicht schaffen Sie es sogar, diese Summation formal durch Grenz- übergang in ein Integral zu verwandeln und damit die exakte Bogenlänge zu berechnen. Für diesen Aufgabenteil könnte die Verwendung der Funktion g günstiger sein. Vielleicht können Sie jedoch die Lösung sowohl mit f als auch mit g realisieren.
  3. "Oberfläche" : Wie in Aufgabenstellung 2) ist auch hier daran zu denken, die gesamte Oberfläche in kleine Teilflächen zu zerlegen, diese näherungsweise zu berechnen und dann zu summieren. Wenn Sie die Zerstückelung z.B. in "Fast"-Vierecke wählen, können Sie unter Um- ständen Zwischenergebnisse aus Aufgabe 2 (Näherungslänge der Kurvenstücke als Höhe der "abgerollten" Kegelstumpf-Mantelteile) verwenden. Auch in dieser Aufgabe besteht die Möglichkeit, die Summen durch Grenzübergang in Integrale zu verwandeln und die Oberfläche exakt zu berechnen.


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Letzte Aktualisierung dieser Seite: 31.08.2003