Oberschulamt Karlsruhe - Fachbereich Mathematik
Lehrerfortbildung Computeralgebrasysteme im Mathematikunterricht

Vorschlag 3 : Näherungskurven (Taylorapproximation u.a.)

Problemstellung:

Gegeben ist eine beliebig oft differenzierbare Funktion f, die möglichst genau durch eine ganzrationale Funktion angenähert werden soll.

Hinführung:

Eine ganzrationale Funktion hat als Funktionsterm ein Polynom n. Grades. Zur Bestimmung dieses Polynoms müssen die n+1 Koeffizienten a0, a1, ... an des Polynoms p(x)=a0 + a1 x + ... + an xn bestimmt werden.

Hierfür benötigt man insgesamt n+1 Gleichungen, also n+1 Bedingungen.

Zwei Möglichkeiten für diese n+1 Bedingungen:

  1. Die gegebene Funktion soll an insgesamt n+1 Stellen mit der ganzrationalen Funktion übereinstimmen.
  2. Die gegebene Funktion soll an einer Stelle im Funktionswert und in den ersten n Ableitungen übereinstimmen.

Aufgaben:

Verwenden Sie für die folgenden Aufgabenstellungen die Funktionen:

f : x->sin(x)
g : x->cos(x)
h : x->sqrt(9-x^2)
k : x-> 1/(1+x^2)

  1. Bestimmen Sie ein Polynom 4. Grades, das mit h an den Stellen -2,-1,0,1,2 in den Funktionswerten übereinstimmt. Zeichnen Sie die Schaubilder von h und dem Polynom in ein Koordinatenkreuz ein.
  2. Bestimmen Sie ein Polynom 8. Grades, das in den Stellen von Aufgabe 1 sowie in den halbzahligen Zwischenstellen mit h übereinstimmt. Zeichnen Sie wieder die Schaubilder.
  3. Führen Sie Aufgaben 1 und 2 mit der Funktion k durch.
  4. Bestimmen Sie ein Polynom 4. Grades, das an der Stelle x=0 im Funktionswert sowie in den ersten vier Ableitungen mit f übereinstimmt. Zeichnen Sie die Schaubilder des Polynoms und von f in einem Koordinatenkreuz.
  5. Erhöhen Sie die Genauigkeit, indem Sie den Grad auf 8 erhöhen. Lösen Siee wieder das Gleichungssystem und zeichnen Sie die beiden Schaubilder.
  6. Führen Sie Aufgaben 4 und 5 mit der Funktion g durch. Hinweis für die nachfolgenden Prozeduren:
    Wenn Sie in einer Schleife Variablen a1 , ... , an definieren wollen, sind folgende Befehle nützlich:

    M := {} ;
    for k from 1 to n do
    M := M union a.k
    od;

  7. Das Verfahren wird jetzt durch einige Prozeduren automatisiert.
    Wir benötigen das Polynom n. Grades. Schreiben Sie eine Prozedur, die beim Aufruf POLY(n) folgendes Polynom zurückliefert:
    a0 + a1 x + a2 x2 + ... + an xn
  8. Wir benötigen die Menge der Koeffizienten zum Lösen des Gleichungssystems. Schreiben Sie eine Prozedur VAR(n), die folgende Menge zurückliefert:
    {a0, a1, a2, ... an}
  9. Wir benötigen für Aufgaben 1-3 das Gleichungssystem: f(xk) = p(xk) wobei xk die entsprechenden Stellen sind.
    Schreiben Sie eine Prozedure LGS1(f,n,a,b), die eine Menge aus n Gleichungen zurückliefert:
    {gl0, gl1, gl2, ..., gln}
    wobei jede Gleichung der Form f(xk) = p(xk) ist mit x0=a, und xn=b und alle xk in gleichen Abständen liegen. p(x) ist dabei das noch unbestimmte Polynom n. Grades POLY(n).
  10. Schreiben Sie eine Prozedur POLY1(f,n,a,b), die das Gleichungssystem LGS1 in den Koeffizienten VAR löst und das entsprechende Polynom zurückliefert.
  11. Bilden Sie entsprechend den Aufgaben 9 und 10 die Prozeduren LGS2(f,n,a) und POLY2(f,n,a), wobei a diejenige Stelle ist, an denen Funktionswert und Ableitungen von f und dem Polynom n. Grades übereinstimmen sollen.
  12. Schreiben Sie zum Schluß noch eine Prozedur, die zu den Aufgaben 7-10 bzw.7-9 und 11 ein Schaubild aus Funktion und Näherungspolynom erstellt. Aufruf:
    BILD1(f,n,a,b, xbereich, ybereich)
    bzw.:
    BILD2(f,n,a, xbereich, ybereich).
    Ein mögliches Bild könnte z.B. so wie nachfolgend abgebildet aussehen;
    Approximationsbeispiel

    Aufruf: BILD2(cos,10,0,-7..7,-3..3)


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Letzte Aktualisierung dieser Seite: 31.08.2003