Oberschulamt Karlsruhe - Fachbereich Mathematik
Lehrerfortbildung Computeralgebrasysteme im Mathematikunterricht

Vorschlag 6 : Zykloide

Einführung :

Stellen Sie sich vor, ein Radfahrer hat an einer Stelle des Rades einen Reflektor befestigt, den Sie mit stehender Kamera beim Vorbeifahren mit einer Stroboskop-Belichtung aufnehmen. Die Kurve, auf der die Bildpunkte des Reflektors liegen, nennt man Zykloide.
Mit solchen Zykloiden wollen wir uns jetzt etwas näher befassen.

Aufgaben :

  1. Nehmen Sie zunächst an, der Reflektor ist auf dem Fahrradmantel befestigt. Später können Sie den Reflektor an einer Speiche befestigt denken (die Mathematik hierzu wird dann nur wenig aufwendiger!).
  2. Stellen Sie die x- und die y-Position des Reflektors als Funktionen x(t) und y(t) der Zeit dar. Bedenken Sie hierbei, daß sich die Reflektorbewegung aus zwei simultanen Bewegungen zusammensetzt:
    a) der Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit in x-Richtung
    b) der Kreisbewegung um die Radnabe.
    Zeichnen Sie die entstehende Kurve (schlagen Sie für die parametrisierte Kurve die MAPLE-Hilfe zum Plot-Befehl nach!).
  3. Eliminieren Sie aus den Funktionsgleichungen x(t) und y(t) die Zeit t, und Sie erhalten einen Zusammenhang zwischen x und y, den Sie ebenfalls graphisch darstellen können.
  4. Versuchen Sie, die Länge des Wegs zu berechnen, den der Reflektor "auf dem Bild" zurücklegt!
  5. An welcher Stelle hat der Reflektor (auf dem Bild) die größte Geschwindigkeit?

Hinweise:

  1. Unter einer parametrisierten Kurve K versteht man die Menge aller Punkte [x,y], die durch die Funktionsterme x(t) und y(t) erzeugt werden, wenn t eine bestimmte Definitionsmenge durchläuft.
    Ein Kreis mit Radius 1 wird z.B. durch die Parametrisierung [cos(t), sin(t)] mit 0t2p beschrieben.
  2. Mit Hilfe der Parametrisierung kann man den Ort des Reflektors in Abhängigkeit von der Fahrzeit einfach darstellen: Die y-Koordinate entspricht der y-Koordinate auf einem Kreis, und bei der x-Koordinate muß man neben der Kreis-x-Koordinate noch die konstante Geschwindigkeit in x-Richtung berücksichtigen.
  3. Mit Hilfe der Parametrisierung läßt sich das Problem der Befestigung des Reflektors auf einer Speiche nun ebenfalls leicht lösen; verwenden Sie hierbei einen Hilfsradius R, der die Entfernung des Reflektors von der Radnabe angibt.

Weiterführung:

  1. 1. Stellen Sie den Weg des Stifts (siehe nebenstehendes Bild) graphisch dar, wenn das linke Ende der Führungsstange an einem festen Punkt P und das andere Ende in der Mitte M der Zeichenstange drehbar befestigt sind. Das untere Ende der Zeichenstange Z bewegt sich nun auf dem Führungskreis.
  2. Verwenden Sie zunächst: PM = MZ = Durchmesser (Führungskreis) = 1, und variiere Sie den Abstand von P zum Führungskreis (geeignetes Koordinatensystem festlegen!).
  3. Anschließend sind auch andere Maße denkbar. Stelle eine schöne (!) Figur her! Wenn Sie wollen, können Sie zu Hause das Zeichengerät auch basteln (z.B. mit Hilfe eines Systembaukastens) !
  4. 2. Überlegen Sie sich weitere Stangenkonstruktionen, und realisieren Sie diese rechnierisch und graphisch.
Hinweis: In vielen Fällen läßt sich die Bahn der Zykloide selbst mit MAPLE nicht explizit bestimmen; für unsere Problemstellung der graphischen Darstellung genügt in diesem Fall die näherungsweise Berechnung von z.B. 100 Kurvenpunkten und die Zeichnung dieser Punkte.


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Letzte Aktualisierung dieser Seite: 31.08.2003