L Klausur Nr. 1,Mathematik LK12, 15.10.97
 
 

Schriftlich:
 
 

1. Gegeben ein LGS durch 

a) Für welchen Wert von k ist das LGS unlösbar?

b) Für welche Werte von k ist das LGS eindeutig lösbar?

c) Wann gibt es unendlich viele Lösungen? Gib die Lösungsmenge an.
 
 
 
 

Mit Maple:

2. Gegeben ein inhomogenes LGS durch die Matrix 

Bestimme die Lösungsmenge.

Gib die allgemeine Lösung des zugehörigen homogenen LGS und eine spezielle Lösung des inhomogenen LGS an.
 
 

3. Eine Bäckerei hat fertige Brotmischungen der Sorten A,B,C und D am Lager. Diese enthalten Weizenmehl, Roggenmehl und anderes gemäß folgender Tabelle:

  A B C D
Roggen 20% 40% 40% 70%
Weizen 70% 55% 40% 20%
andere 10% 5% 20% 10%

Für einen Großauftrags soll Brot einer anderen Geschmacksrichtung mit 45% Roggen- und 45% Weizenmehlanteil geliefert werden. Die restliche 10% sind nicht vorgeschrieben. Aus den vorhandenen Mehlsorten ist die benötigte Mischung herzustellen.

a) Kann der Auftrag ausgeführt werden? Begründung.

b) Gib eine Mischung an, bei der alle 4 Sorten verwendet werden. Kann man auch alleine mit Sorte B und C auskommen?

c) Es sollen 200kg hergestellt werden. Jedoch stehen nur noch 80kg der Sorte A und 60kg der Sorte B zur Verfügung. Wie muß man die Mischung ansetzen, wenn eine der Sorten A oder B vollständig aufgebraucht werden soll?
 
 

4.

  Leistung Bedarf
A 500 700
B 900 600
C 300 800
D 800 400

Gegeben sind vier Kraftwerke A,B,C und D, die durch 6 Leitungen miteinander verbunden sind (jedes mit jedem, Verbundnetz). Die Leistungen der Kraftwerke entsprechen jedoch nicht immer dem jeweiligen Bedarf, weshalb jedes Kraftwerk von jedem anderen Leistung beziehen oder zu diesem abgeben kann (aber natürlich nicht beides gleichzeitig!).

Es gilt die nebenstehende Tabelle (Angaben in MW):
 
 

a) Stelle ein LGS für die Leistungen in den Leitungen auf und bestimme die Lösungsmenge. Gib eine spezielle Lösung an, bei der alle Leitungen beansprucht werden.

b) Gib eine Lösung an, die vermutlich am wirtschaftlichsten oder am vernünftigsten ist.
 
 

5. In einen Kreisverkehr münden drei zweispurige Straßen und eine Einbahnstraße (s. Skizze). Verkehrsdichten in Fahrzeuge/Stunde.
 
 

a) Stelle ein LGS für die Verkehrsdichten f1 ... f7 auf und gib die allgemeine Lösung an.

b) Auf welchem Abschnitt ist die geringste Verkehrsdichte?

c) Welche Verkehrsdichten erhält man, wenn f1=150 ist?

d) Wegen eines Unfalls ist die Strecke FG gesperrt.

Kann der restliche Verkehr entsprechend den ursprünglichen Vorgaben weiterlaufen? Begründung.

e) Nun ist der Unfall auf dem Abschnitt CD (statt auf FG) eingetreten.

Welche Verkehrströme im Kreis und welche Zu- und Abflüsse kommen dadurch zum Erliegen?

Wie groß dürfen nun der Abfluß bei F und der Zufluß bei G sein, damit der restliche Verkehr weiterläuft?