Gebrochenrationale Funktionen

Asymptote, horizontal, schief

Asymptote, vertikal

Definition

Definitionslücke

Definitionsmenge

Differenzierbarkeit

discont=true

Lücke im Schaubild

Näherungskurve

numer, denom

Pol

Polynomdivision

Stetigkeit

Symmetrie

Verhalten in der Umgebung einer Definitionslücke

>

>

>

Definition:

Sind f und g zwei ganzrationale Funktionen, dann heißt [Maple Math] gebrochenrationale Funktion, wenn g mindestens vom Grad 1 ist.

Beispiele:

> f:=x->(x^2-4)/(x^2+2);

[Maple Math]

> plot(f(x),x=-5..5,y=-5..5);

[Maple Plot]

> g:=x->x/(x^2-4);

[Maple Math]

> plot(g(x),x=-5..5,y=-5..5);

[Maple Plot]

Bem.: Das Schaubild einer gebrochenrationalen Funktion kann aus mehreren Teilen bestehen.

> plot(g(x),x=-5..5,y=-5..5,discont=true,color=red);

[Maple Plot]

Bem.: Durch discont=true werden die vertikalen Linien an den Definitionslücken unterdrückt.

> h:=x->(x^2-4)/x;

[Maple Math]

> plot(h(x),x=-5..5,y=-5..5,discont=true,color=red);

[Maple Plot]

> k:=x->(x^3+x+1)/x;

[Maple Math]

> plot(k(x),x=-5..5,y=-5..5,discont=true,color=red);

[Maple Plot]

Definitionslücken, Definitionsmenge
Definitionslücken liegen an den Nullstellen des Nenners vor. Mit Hilfe der Befehle
numer und denom erhält man Zähler und Nenner der gebrochenrationalen Funktion.

> g(x);

[Maple Math]

> numer(g(x));

[Maple Math]

> denom(g(x));

[Maple Math]

Damit kann man die Definitionslücken berechnen.

> solve(denom(g(x))=0,x);

[Maple Math]

Also Definitionslücken bei [Maple Math] = 2 und [Maple Math] = -2.

Die Definitionsmenge der Funktion g ist damit D = R\{-2 ; 2}

>

Symmetrie

Wenn f(-x) = f(x) , dann ist das Schaubild von f achsensymmetrisch zur y-Achse.
Wenn f(-x) = - f(x) , dann ist das Schaubild von f punktsymmetrisch zum Ursprung.

> f(x);

[Maple Math]

> f(-x);

[Maple Math]

Also f(-x) = f(x), d.h. achsensymmetrisch zur y-Achse

> g(x);

[Maple Math]

> g(-x);

[Maple Math]

Also g(-x) = - g(x), d.h. punktsymmetrisch zum Ursprung.

> h(x);

[Maple Math]

> h(-x);

[Maple Math]

Also h(-x) = - h(x), d.h. punktsymmetrisch zum Ursprung.

> k(x);

[Maple Math]

> k(-x);

[Maple Math]

> simplify(%);

[Maple Math]

Keine Symmetrie erkennbar.

> l:=x->(x-1)/(x^2-2*x-3);

[Maple Math]

> plot(l(x),x=-5..5,y=-5..5,discont=true,color=red):

[Maple Plot]

Vermutung: Schaubild ist punktsymmetrisch zu P(1/0).
Zum Nachweis Verschiebung des Schaubildes um 1 nach links (x durch x+1) ersetzen.

> l1:=x->((x+1)-1)/((x+1)^2-2*(x+1)-3);

[Maple Math]

> plot(l1(x),x=-5..5,y=-5..5,discont=true,color=red);

[Maple Plot]

> l1(x);

[Maple Math]

> simplify(%);

[Maple Math]

> l1(-x);

[Maple Math]

> simplify(%);

[Maple Math]

Das Schaubild von l1 ist punktsymmetrisch zum Ursprung, also ist das Schaubild von l punktsymmetrisch zu P(1/0).

>

Stetigkeit

Eine gebrochenrationale Funktion ist an jeder Stelle ihrer Definitionsmenge stetig.

>

Differenzierbarkeit

> restart;

> f:=x->(x^2-4)/(x^2+2);

[Maple Math]

> f1:=D(f);

[Maple Math]

Der Funktionsterm kann unter Umständen noch mit simplify vereinfacht werden.

> simplify(f1(x));

[Maple Math]

> f1:=unapply(%,x);

[Maple Math]

> f2:=D(f1);

[Maple Math]

> simplify(f2(x));

[Maple Math]

> f2:=unapply(%,x);

[Maple Math]

>

Verhalten in der Umgebung einer Definitionslücke

> f:=x->x/(x+2);

[Maple Math]

Definitionslücke [Maple Math] = -2

> plot(f(x),x=-5..5,y=-5..5,discont=true,color=red);

[Maple Plot]

Was machen die Funktionswerte von f, wenn sich x von rechts bzw. links an die Definitionslücke annähert ?

> limit(f(x),x=-2,right);

[Maple Math]

> limit(f(x),x=-2,left);

[Maple Math]

Man nennt [Maple Math] = -2 eine Pol (mit Vorzeichenwechsel). Das Schaubild hat eine vertikale Asymptote x = -2

> plot([f(x),[[-2,-10],[-2,10]]],x=-5..5,y=-5..5);

[Maple Plot]

Allgemein: Es sei f(x) = [Maple Math] [Maple Math] sei eine Nullstelle von k(x) also eine Definitionslücke. Dann gibt es 2 Fälle

Fall (1): [Maple Math] Fall (2): [Maple Math]

>

Zu Fall (1): f hat an der Stelle [Maple Math] einen Pol / Unendlichkeitstelle

x = [Maple Math] ist vertikale Asymptote der Schaubilds von f

> f:=x->1/(x+2)^2;

[Maple Math]

> solve(denom(f(x))=0,x);

[Maple Math]

> plot(f(x),x=-5..5,y=-5..5,discont=true,color=red);

[Maple Plot]

Hier ist [Maple Math] ein Pol ohne Vorzeichenwechsel.

Allgemein: Ist [Maple Math] n-fache Nullstelle des Nenners, so gilt:
n gerade: Pol ohne Vorzeichenwechsel
n ungerade: Pol mit Vorzeichenwechsel

>

>

Zu Fall (2): Der Funktionsterm läßt sich durch Kürzen vereinfachen.

Beispiel a)

> restart; with(plots):

> f:=x->(x^2-1)/(x-1);

[Maple Math]

Definitionslücken

> solve(denom(f(x))=0,x);

[Maple Math]

Da der Zähler für x=1 auch 0 ergibt, kann man den Funktionsterm vereinfachen.

> f(x);

[Maple Math]

> simplify(%);

[Maple Math]

> f:=unapply(%,x);

[Maple Math]

Allerdings ist diese Funktion immer noch die Definitionsmenge D = R \ {1} !!!!!

Das Schaubild hat an der Stelle [Maple Math] =1 eine Lücke

> plot(f(x),x=-5..5,y=-5..5);

[Maple Plot]

> a:=plot(f(x),x=-5..5,y=-5..5):

> f(1);

[Maple Math]

> ### WARNING: the definition of the type `symbol` has changed'; see help page for details
b:=plot([[1,2]],style=point,symbol=circle):

Damit richtiges Schaubild

> display(a,b);

[Maple Plot]

Beispiel b)

> restart; with(plots):

> f:=x->(x-1)/(x^2-1);

[Maple Math]

Definitionslücken

> solve(denom(f(x))=0,x);

[Maple Math]

Da der Zähler für x=1 auch 0 ergibt, kann man den Funktionsterm vereinfachen.

> f(x);

[Maple Math]

> simplify(%);

[Maple Math]

> f:=unapply(%,x);

[Maple Math]

> f:=x->1/(x+1);

[Maple Math]

Allerdings ist diese Funktion immer noch die Definitionsmenge D = R \ {1 ; -1} !!!!!

Nach der Vereinfachung des Funktionsterms werden nun die Definitionslücken noch einmal untersucht.

Ist [Maple Math] Definitionslücke und [Maple Math] Nullstelle des neuen Nenners --> Pol bei [Maple Math]

Ist [Maple Math] Definitionslücke und [Maple Math] keine Nullstelle des neuen Nenners --> Lücke im Schaubild an der Stelle [Maple Math]

>

Im Beispiel b) gilt:

[Maple Math] = 1 ist keine Nullstelle des neuen Nenners, also Lücke im Schaubild.

[Maple Math] = -1 ist Nullstelle des Nenners (einfach), also Pol bei [Maple Math] = -1, x=-1 ist vertikale Asymptote

> plot(f(x),x=-5..5,y=-5..5,discont=true,color=red);

[Maple Plot]

> a:=plot(f(x),x=-5..5,y=-5..5,discont=true,color=red):

> f(1);

[Maple Math]

> ### WARNING: the definition of the type `symbol` has changed'; see help page for details
b:=plot([[1,1/2]],style=point,symbol=circle):

Damit richtiges Schaubild

> display(a,b);

[Maple Plot]

>

Verhalten für [Maple Math] -> [Maple Math] , horizontale und schiefe Asymptoten, Näherungskurven

Es sei f(x) = [Maple Math] mit g(x) = [Maple Math] + ... + [Maple Math]

und k(x) = [Maple Math] + ... + [Maple Math]

Dann gilt:

Wenn n = m dann ist y = [Maple Math] horizontale Asymptote

Wenn n < m dann ist die x-Achse horizontale Asymptote

Wenn n > m dann gibt es eine schiefe Asymptote bzw. eine Näherungskurve

Dazu Polynomdivision

> restart; with(plots):

> f:=x->(x^2+1)/(x-1);

[Maple Math]

> z:=numer(f(x));

[Maple Math]

> n:=denom(f(x));

[Maple Math]

> convert(z/n,parfrac,x);

[Maple Math]

Dabei gilt

> limit(2/(x-1),x=infinity);

[Maple Math]

Also ist y = x+1 schiefe Asymptote

> g:=x->x+1;

[Maple Math]

> s:=plot([f(x),g(x)],x=-10..10,y=-10..10,discont=true,color=[red,blue]):

> asy:=plot([[1,-10],[1,10]],color=blue):

> display(s,asy);

[Maple Plot]

Nachweis der Punktsymmetrie durch Verschiebung des Schaubildes