Schülerlösungen vom Arbeitsblatt 30, Modelliering von Drehkörpern (Dittrich/1.7.1998)

Gruppe I (Jan, Felix, Phillipp) : Obstschale

> restart;

1.) Bestimmung der Randfunktion:

Annäherung durch eine Kreisfunktion.

Nach dem Abmessen des Glases Eingabe der Werte für Radius in die Funktion :

> r:=6.5;

[Maple Math]

> f:=x->sqrt(r^2-(x-r)^2);

Das Schaubild der Randfunktion :

> plot(f(x),x=0..r,y=0..r);

2.) Berechnung des Rauminhalts

Volumen des Gefäßes :

> Digits:=4;

[Maple Math]

> V:=Pi*Int(f(x)^2,x=0..r)=Pi*int(f(x)^2,x=0..r);

[Maple Math]

> Vvoll:=evalf(rhs(V));

[Maple Math]

A: Das randvoll gefüllte hat kann 575.3 ml Flüssigkeit fassen !

3. ) Räumliche Darstellung

> with(plots):

> p1:=tubeplot([x,0,0],x=0..6.5,radius=f(x),axes=normal,grid=[40,40],orientation=[-90,0]):

Seitenansicht des Gefäßes :

> display(p1);

Aufrechte Darstellung des Gefäßes :

> p2:=tubeplot([x,0,0],x=0..6.5,radius=f(x),axes=normal,grid=[40,40],orientation=[-180,-10]):

> display(p2);

4.) Zusammenhang zwischen Flüssigkeitshöhe und Volumen

> Vh:=Pi*int(f(x)^2,x=0..h);

[Maple Math]

> Vh:=unapply(Vh,h);

Schaubild:

> plot(Vh(h),h=0..6.5,Vh=0..575);

In diesem Schaubild ist zu jeder Höhe der Flüssigkeit das Volumen ablesbar !

5.) Ausrechnen der Flüssigkeitshöhe anhand des Volumens :

> h:=solve(Vh(h)=300);

[Maple Math]

>

300 ml Flüssigkeit ist in diesem Gefäß 4,3 cm hoch

Nur der Wert 4,3 stimmt, weil nur die Werte zwischen 0 und 6.5 in Frage kommen.

Gruppe II (Monika, Jasmin, Adnan): Vase

Modellierung von Drehkörpern

1) Durch welche Funktion kann die Randkurve modelliert werden? Wie sieht ihr Schaubild aus?

Skizze im Heft;

Vermutung: Parabel zweiter Ordnung

Um die Funktion zu erlangen, brauchen wir minestens drei Punkte der Funktion

--> durch Meßwerte

Höhe: 17 cm ; Bodenradius: 5cm; Radius der Öffnung: 5,75cm

Radius am Bauch der Vase : 3,1 cm

Diese Werte setzen wir in die Ganzrationalefunktion vom Grad 2 ein:

restart;

> f:=x->a*x^2+b*x+c;

An der Stelle x=0, war der Bodenradius 5 cm

> gl1:=f(0)=5;

[Maple Math]

> gl2:=f(7)=3.1;

[Maple Math]

> gl3:=f(17)=5.75;

[Maple Math]

Lösen des Gleichungssystems:

> L:=solve({gl1,gl2,gl3},{a,b,c});

[Maple Math]

> assign(L);

> y:=f(x);

[Maple Math]

> f:=unapply(y,x);

Schaubild der Randfunktion:

> plot(f(x),x=0..17,0..10);

2)Rauminhalt des Gefäßes:( mit Integral)

> V:=Pi*Int((f(x))^2,x=0..17)=Pi*int((f(x))^2,x=0..17);

[Maple Math]

> Vvoll:=evalf(rhs(V));

[Maple Math]

Also passen ungefähr 821 ml in das Gefäß

3) Räumliche Darstellung des Gefäßes:

> with(plots):

> tubeplot([x,0,0],x=0..17,radius=f(x),axes=normal,grid=[50,50],orientation=[-180,0]);

4)

Zusammenhang zwischen Flüssigkeit und Volumen:

Einsetzen einer allgemeinen Variablen h

> V:=Pi*Int((f(x))^2,x=0..h)=Pi*int((f(x))^2,x=0..h);

[Maple Math]
[Maple Math]

Die rechte Seite des Ergebnisses ist die gesuchte Funktion Vh(h)

Funktion:

> Vh:=unapply(rhs(V),h);

y=0..820 gewählt da 820 ml in die Vase passen

> plot(Vh(h),h=0..17,0..820);

Für jede Höhe kann man nun das Volumen ablesen.

z.B.: bei 820ml : Höhe 17 cm

Wäre die Vase zylinderförmig, wäre die Kurve linear.

5)

Berechne aus dem vorgegebenen Volumen die Höhe.

Die Funktion Vh(h) ist gegeben.

Löse Vh(h) nach h auf, z.B die Höhe bei 500ml.

> H:=solve(Vh(h)=500,h);

[Maple Math]
[Maple Math]

Der einzige Wert, der in Frage kommt ist 12.27933002

Wenn man also 500ml eingießt, so ist die Höhe 12,23 cm.

Man kann also aus jedem Volumen die Höhe berechnen.

Probe:

z.B bei einer Höhe von h = 10

> Vh(10);

[Maple Math]

> V10:=evalf(Vh(10));

[Maple Math]

Wenn man 414,87 ml Flüssigkeit eingießt, so ist die Höhe 10cm

Gruppe III (Tilman, Ulrich, Michale, Martin): Bierglas

> restart;

> with(plots):

X1=unten, X2=dickste Stelle, X3=oben

> X1:=0; X2:=3.5; X3:=12.5;

[Maple Math]

[Maple Math]

[Maple Math]

Y1=Radius der dicksten Stelle (bei X2), Y2=Radius oben (bei X3)

> Y1:=7.8/2; Y2:=6.8/2;

[Maple Math]

[Maple Math]

1. Randfunktionen:

Die Randfunktion setzt sich aus einer Wurzelfunktion und einer Geraden zusammen.

Um das Bild der Rundung bauchiger zu machen, haben wir statt einer Quadratwurzel die 3.Wurzel gewählt:

> f:= x->(a*x)^(1/3);

Die Werte von a werden so gewählt, daß die Funktion durch den Punkt (X2|Y1) geht.

> a:=solve(f(X2)=Y1,a);

[Maple Math]

allgemeine Geradenfunktion:

> g:=x-> m*x+c;

m und c werden so gewählt, daß die Gerade durch die Punkte (X2|Y1) und (X3|Y2) geht.

> Lsg:= solve({g(X2)=Y1,g(X3)=Y2},{m,c});

[Maple Math]

> assign(Lsg);

Schaubild der Randfunktion:

> p1:=plot(f(x), x=X1..X2, scaling=constrained):

> p2:=plot(g(x), x=X2..X3):

> display([p1,p2]);

2) Berechnung des Rauminhalts des Gefäßes (randvolles Gefäß)

> h:=X3;

[Maple Math]

> V:=Pi*int(f(x)^2,x=X1..X2)+Pi*int(g(x)^2,x=X2..h);
evalf(V);

[Maple Math]

[Maple Math]

Der Rauminhalt ist ca. 477,6 cm³.

3) räumliche Darstellung:

> p1:=tubeplot([x,0,0], x=X1..X2, radius=f(x), axes=normal, orientation=[-90,0], grid=[20,20], scaling=constrained):

> p2:=tubeplot([x,0,0], x=X2..X3, radius=g(x), axes=normal, orientation=[-90,0], grid=[20,20]):

> display([p1,p2]);

4) Zusammenhang Flüßigkeitshöhe und Volumen

1.Fall: h<=3.5cm:

> h:=3.5;

[Maple Math]

> V:=Pi*int(f(x)^2,x=X1..h);
evalf(V);

[Maple Math]

[Maple Math]

2.Fall: h>3.5cm:

> h:=10.5; # 0,4l-Marke ist bei 10,5cm

[Maple Math]

> V:=Pi*int(f(x)^2,x=X1..X2)+Pi*int(g(x)^2,x=X2..h);
evalf(V);

[Maple Math]

[Maple Math]

Schaubild:

> h:='h'; V:='V';

[Maple Math]

[Maple Math]

> V:=Pi*int(f(x)^2,x=X1..h);
V1:=unapply(V,h);

[Maple Math]

> V:=Pi*int(f(x)^2,x=X1..X2)+Pi*int(g(x)^2,x=X2..h);
V2:=unapply(V,h);

[Maple Math]

> p1:=plot(V1(h),h=X1..X2):
p2:=plot(V2(h),h=X2..X3):

> display({p1,p2});

5) Berechnung der Höhe aus dem Volumen

1.Fall: Volumen <= 100,34

> V:=60;
h:='h';

[Maple Math]

[Maple Math]

> h:=solve(V=Pi*int(f(x)^2,x=X1..h),h);

[Maple Math]

2.Fall: Volumen > 100,34

> V:=400;
h:='h';

[Maple Math]

[Maple Math]

> h:=solve(V=Pi*int(f(x)^2,x=X1..X2)+Pi*int(g(x)^2,x=X2..h),h);

[Maple Math]

Brauchbare Lösung: Wenn man 400ml Flüßigkeit eingießt, so ist die Höhe h=10,43 cm