PIMOKL / 
CASIMU
Pilotprojekt Mobiles Klassenzimmer /
Einsatz eines Computer-Algebra-Systems im 
Mathematikunterricht

Pädagogische Begleitung
Staatl. Seminar für Schulpädagogik (Gymnasien)

Zusammenfassender Bericht über den Projektunterricht

im Schuljahr 97/98 an den Versuchsschulen

Gymnasium in der Taus, Leistungskurs und Grundkurs 12
Helmholtz-Gymnasium Karlsruhe, Leistungskurs und Grundkurs 12
Hans-Thoma-Gymnasium, Lörrach, Leistungskurs und Grundkurs 12
Isolde-Kurz-Gymnasium Reutlingen Grundkurs 12
1 Vorbemerkungen
2 Unterrichtsinhalte
3 Didaktik
4 Schülermeinungen
5 Angaben der Lehrer zum Unterricht
6 Zusammenfassung
7 Schülerfragebogen mit Auswertung
8 Lehrerfragebogen (Auswertung siehe Einzelberichte)
9 Anhang (Fragebogen und Beispiele für Aufgaben und Klassenarbeiten)

Vorbemerkungen

Dieser zusammenfassende Bericht bezieht sich auf die vier Projektschulen, in denen im Schuljahr 1997/98 Grund- und Leistungskurse in der Jahrgangsstufe 12 unterrichtet worden sind. Für die fünfte Schule, das in diesem Schuljahr neu hinzugekommene Markgrafen-Gymnasium in Karlsruhe-Durlach, wird auf den Einzelbericht verwiesen. Dort wurde nochmals eine 11. Klasse unterrichtet.

Grundlage dieses zusammenfassenden Berichts sind vor allem die folgenden sieben Einzelberichte, dazu kommen die Erfahrungen und Anregungen aus mehreren gemeinsamen Tagungen und aus Unterrichtsbesuchen. Das Pilotprojekt Mobiles Klassenzimmer wird von einer Betreuungsgruppe (StD Dr. Henn, Prof. Jock, Prof. Koller, StD Reimer) am Staatlichen Seminar für Schulpädagogik (Gymnasien) Karlsruhe pädagogisch begleitet.

Bedingt durch die Rahmenbedingungen des Versuchs waren schon die 11. Klassen des vorletzten Schuljahrs relativ klein gewesen, so dass nach der Aufteilung in Grund- und Leistungskurse untypisch kleine Kurse entstanden. Dem entsprechend war die Unterrichtsatmosphäre für Lehrer und Schüler überwiegend angenehm. Die fachliche Motivation war natürlich unterschiedlich, zum großen Teil waren die Schülerinnen und Schüler aber aufgeschlossen.

Auffallend war in allen Kursen ein hoher Anteil an Unterrichtsausfall (bis zu 25 %), der ausschließlich durch unterschiedliche schulische und dienstliche Aktivitäten begründet war. Selbstverständlich haben normale Klassen mit demselben Problem zu kämpfen.

Die schon im vergangenen Jahr monierte Reparaturanfälligkeit der Rechner hat sich verstärkt und hat zu deutlichen Beeinträchtigungen des Unterrichts geführt.

Unterrichtsinhalte

Generell läßt sich sagen, dass hauptsächlich entlang des herkömmlichen Lehrplans unterrichtet wurde. Die grundlegenden Eigenschaften gebrochen-rationaler Funktionen waren hauptsächlich schon in der 11. Klasse behandelt worden. Ableitungs- und Integrationsregeln wurden meistens nicht hergeleitet. Für einige weitere Bemerkungen soll für Grund- und Leistungskurs unterschieden werden:

Im Leistungskurs wurden an mehreren Stellen auch neue bzw. weitergehende Inhalte aufgenommen. So wurde bei der Einführung der Integralrechnung überwiegend und konsequent das von der Karlsruher Betreuungsgruppe vorgeschlagene Konzept über die Rekonstruktion einer Funktion aus ihren Änderungsraten erfolgreich unterrichtet. Im Zusammenhang mit der Integralrechnung wurde ein deutlich breiteres Anwendungsspektrum behandelt. Zum Teil wurden Bogenlänge und Krümmung thematisiert. Ein weiteres Beispiel für Themengebiete, die über die Vorgaben der herkömmlichen Lehrplans hinausgingen, war die Approximation durch Splines, ein Thema, das bislang wegen des großen Rechenaufwands, nicht aber wegen begrifflicher Schwierigkeiten im Unterricht ausgeklammert wurde. Volumenbestimmung von Drehkörpern, oft mit Hilfe von Splines, wurde sehr intensiv, auf abiturablem Niveau behandelt. Auch die Einführung von Matrizen und die Behandlung mehrstufiger Prozesse wurde eigentlich erst durch die Verfügbarkeit des CAS in sinnvoller Weise ermöglicht. Besonders wurden die Möglichkeiten von Maple zur Visualisierung und zum unmittelbaren Testen von Ideen und Vermutungen eingeschätzt. Beispielsweise konnte bei der Behandlung der nach e konvergierenden Folge unmittelbar der Schülerfrage nachgegangen werden, welches Verhalten die Folge oder ähnliche Folgen zeigen.

Durch die Verfügbarkeit des Rechners spielte auch die fundamentale mathematische Idee der Rekursion eine größere Rolle. Allerdings kam es auch vor, dass der Rechner bei Beweisen mit Hilfe der vollständigen Induktion und bei Grenzwertuntersuchungen nicht sinnvoll eingesetzt wurde. Oft wurden Konvergenzbeweise von Kollegen als nicht notwendig erachtet, d.h. das Resultat wurde als wichtiger angesehen als der Weg dahin. Dieses Problem wurde durch die Verwendung des Maple-Befehls limit noch verstärkt.

In den Grundkursklassen wurde im wesentlichen nur der klassische Lehrplanstoff behandelt. Alle Kollegen klagten über Zeitprobleme, was aber unserer Meinung nach hauptsächlich auf eine Überbetonung des Rechnereinsatzes unter Verwendung von zu vielen Maple-Befehlen zurückzuführen war. Oft wurde zweigleisig gefahren, und es wurden für den Rechnereinsatz im Grundkurs ungeeignete mathematische Inhalte sowohl "per Hand" als auch mit Maple behandelt, was bei der knappen Grundkurszeit fast zwangsläufig zu Schwierigkeiten führen musste. Ein Beispiel sind die elementaren Aufgaben der Analytischen Geometrie im Zusammenhang mit Geraden und Ebenen.

Didaktik

Generell erwies sich in allen Grund- und in Leistungskursen die Behandlung der analytischen Geometrie unter Einsatz von Maple als problematisch. Einfache, anschauliche geometrische Sachverhalte wurden durch den Rechnereinsatz eher künstlich für Schüler verkompliziert. Die neuen mathematischen Inhalte wurden zum Übungsfeld für die Erstellung von Prozeduren, also in erster Linie für informatorische Tätigkeiten. Ein sehr hoher Zeitaufwand und sehr viel Maple-Syntax waren die Folge. Wenn vom Lehrer fertige Prozeduren (z.B. zur Untersuchung von Lagebeziehungen von Geraden) zur Verfügung gestellt wurden, blieben Verfahren und Methoden oft nur kurzfristig im Gedächtnis. Zwar haben Geraden- und Ebenenscharen eine größere Rolle gespielt, was aber leider oft nicht zu einer Stärkung geometrischen Verständnisses im Sinne der rule of three genutzt wurde, d.h jeden Inhalt zuerst geometrisch und dann erst numerisch und algebraisch zu behandeln. Folglich gab es große Schwierigkeiten bei der inhaltlichen Deutung der formalen Rechnungen, und es war oft eine eher schlechtere Begriffsbildung festzustellen.

Nicht immer wurde berücksichtigt, wie wichtig das eigenständige, manuelle Arbeiten mit einfachen Zahlenbeispielen für den Begriffserwerb ist. Anstatt selbst nachzudenken und mit Bleistift und Papier einen Ansatz zu überlegen, suchten die Schüler oft mühsam unter ihren alten Maple-Worksheets nach dem für ein gestelltes Problem passendes anstatt sich eigene Gedanken zur Problemlösung zu machen. Wie schon vom Taschenrechner her bekannt, wurden oft einfache, leicht im Kopf zu lösende Rechenaufgaben in den Rechner getippt. Alle Kollegen beklagten, dass die Schüler die Rechner viel zu früh einschalteten und zum Teil "abhängig vom Rechner" waren.

Zum Teil wurde konventioneller Stoff behandelt, der nur durch zusätzliche Parameter etwas komplizierter gemacht wurde. Es ist positiv zu werten, dass mehr Beispiele behandelt wurden, was zu tieferen Einsichten führen konnte. Leider waren nach wie vor Begründungsphasen viel zu selten, ein Beispiel ist der schon erwähnte limit-Befehl, nach dessen Einführung oft nicht mehr über die Problematik von Grenzwerten nachgedacht wurde. Oft fehlte die sinnvolle Deutung von Ergebnissen, die der Rechner geliefert hatte, ein typisches Beispiel sind die kritiklos akzeptierten negative Zahlen als Ergebnis einer Modellierung, bei der eine Anzahl berechnet wurde. Diese auch im normalen Unterricht zu beobachtende Fehlentwicklung wurde durch den Rechner verstärkt.

Einige Kollegen wollten zum Teil die Schülerinnen und Schüler durch vorbereitete, umfangreiche Worksheets zum selbständigen Erarbeiten neuen Stoffs bringen. Dies hat sich im nachhinein betrachtet nicht bewährt. Überhaupt wurde nach wie vor der Rechnereinsatz zu stark betont, es wurden hierfür bis zu 70 % der Unterrichtszeit angegeben. Bei vielen Schülern überdeckten die syntaktischen Probleme beim Rechnereinsatz die eigentlichen mathematischen Schwierigkeiten.

Dagegen haben sich Arbeitsblätter mit offen formulierten, interessanten Problemstellungen im Unterrichtseinsatz sehr bewährt. Auch wenn viele der behandelten Aufgaben problemlos nur mit Bleistift, Papier und Taschenrechner hätten gelöst werden können, war doch ein Werkzeug wie Maple für vertiefende Analysen und Verallgemeinerungen angebracht und nützlich. Am besten war es, wenn die Schüler selbständig über den Einsatz des Rechners entscheiden konnten. Dadurch, dass das Werkzeug zur Änderung der Lehrform weg vom Frontalunterricht zwingt, wurden die Schüler automatisch zu neuen Lern-, Arbeits- und Kommunikationsformen geführt. Insgesamt hat sich gezeigt, dass auch ein Werkzeug wie Maple eine ausreichende, intelligent gestaltete Übungssphase nicht ersetzten kann, die die Möglichkeit zum Wiederholen und zum Verständnis der mathematischen Inhalte gibt: Produktives Üben zur Förderung und Vertiefung des Verständnisses. Da der Rechner zu viel leistet, fallen die mit jeder Übung verbundenen Wiederholungsphasen der begrifflichen Grundlagen weg.

Wie schon im letzten Jahr wurde das eingeführte Schulbuch kaum verwendet und wenn, dann höchstens als Aufgabensammlung.

Die Klausuren waren zum Teil, inbesondere im Leistungskurs, sehr umfangreich. In einem Fall konnten die Schüler mit offenem Ende arbeiten, es wurde insgesamt 4 Arbeitsstunden angegeben. Dies ist durchaus sinnvoll, eine zu knappe zeitliche Beschränkung der Arbeitszeit ist kontraproduktiv, wenn man offenere Aufgaben mit kleinen Modellierungsaktivitäten will. Das Spektrum der gestellten Aufgaben reichte von Routinefragen bis hin zu sehr anspruchsvollen Modellierungsaufgaben. Es hat sich aber im nachhinein als Fehler erwiesen, dass die Schüler in den Klausuren alle jemals erstellten Worksheets verwenden durften. Dies führte dazu, dass das eigene Nachdenken über eine mögliche Problemlösung durch ein zielloses Suchen in den alten Worksheets ersetzt wurde.

Schülermeinungen

Wie im letzten Jahr wurde am Ende des Schuljahrs in den Kursen eine einheitliche Befragung durchgeführt, deren genaue Auswertung diesem Bericht angeschlossen ist. Einige typische Feststellungen waren:

5 Angaben der Lehrer zum Unterricht

Die Projektlehrer haben zum Schuljahresende ihre Erfahrungen in einem Fragebogen angeben können. Dieser Lehrerfragebogen ist im Anhang beigefügt. Näheres ist den Berichten zu den einzelnen Kursen zu entnehmen.

Zusammenfassung

Es gab einige Rahmenbedingungen, die sich als hinderlich erwiesen haben. Ein nicht zu unterschätzendes Problem war die schulische Umgebung, in der meistens zwei Leistungskurse und mehrere Grundkurse parallel unterrichtet wurden. Oft glaubten die Schüler stärker belastet zu sein und schlechtere Noten zu erhalten als die Schüler der Parallelkurse. Problematisch war die Bindung an den herkömmlichen Lehrplan, eine Bindung, die ansich nicht gegeben war, die sich die Kollegen aber selbst auferlegt haben.

Das überdurchschnittliche Desinteresse bei den Grundkursschülern ist wohl darauf zurückzuführen, dass Schüler mit Mathematikinteresse bei diesem Schulprojekt in der Regel den Leistungskurs gewählt haben. Für die - recht kleinen - Grundkurse hatten sich nur die eher für Mathematik weniger begabten und uninteressierten Schüler entschieden. In normalen Grundkursen dagegen, die häufig von über 20 Schüler besucht werden, sind oft mehrere leistungsstarke Schüler dabei, die Mathematik auch als Leistungskurs hätten wählen können, aber aus persönlichem Interesse zwei andere Leistungskurse gewählt haben.

Bei der Bewertung des Lernerfolgs der Schüler darf man nicht außer Acht lassen, dass die Schüler über den reinen Mathematikstoff hinaus zusätzlich viel gelernt haben: Der Umgang mit dem Rechner hat viele Kenntnisse aus dem Bereich der Informatik vermittelt, die leider gar nicht in die Bewertung der Schüler eingeflossen sind. Die englische Hilfestellung von Maple hat auch die Englischkenntnisse positiv beeinflußt. Die Art des Unterrichts hat zu selbständigem Arbeiten gezwungen, und die Kommunikationsfähigkeit wurde wesentlich weiterentwickelt.

Die Schüler waren in mehrfacher Hinsicht stärker gefordert als die in normalen Klassen: Die kleinere Kursstärke bedeutete die Notwendigkeit ständiger Aufmerksamkeit, dazu kam das neue Werkzeug Maple mit den damit verbundenen neuen, ungewohnten Unterrichtsmethoden.

Wird der herkömmliche Lehrplan mit den üblichen Inhalten zugrunde gelegt, so besteht zumindest im Grundkurs kaum eine Notwendigkeit, ein so mächtiges Werkzeug wie Maple einzusetzen. Wenn im Grundkurs Maple eingesetzt wird, so muss eine Konzentration auf sehr wenige Befehle angestrebt und genau geprüft werden, wo der Einsatz des CAS wirklich zu einem besseren und vertieften Zugang zu den mathematischen Inhalten führen kann. Bei der lehrplangemäßen Behandlung beispielsweise der Vektorrechnung ist der Einsatz von Maple nicht angebracht. Generell besteht im Grundkurs die Gefahr, dass weder der sichere Umgang mit Maple gelernt wird noch solide Grundvorstellungen der wesentlichen mathematischen Begriffe aufgebaut werden, d.h. dass insgesamt weniger als ohne CAS erreicht wird.

In allen Kursen sollte klar unterschieden werden zwischen dem Einsatz von Maple als Werkzeug in der Hand der Schüler (z.B. zur eigenständigen Erforschung affiner Abbildungen eines Schaubilds) und als Visualisierungs-Tool (z.B. zur Erläuterung der Idee der Rekonstruktion einer Funktion) in der Hand des Lehrers. Im ersten Fall muss der Bearbeiter genau verstehen, was gemacht wird, und es auch selbst durchführen, im zweiten Fall ist die Kenntnis der internen Struktur der verwendeten Prozeduren für die Schüler unnötig. Sinnvoll wäre es, wenn der Lehrer Prozeduren als black box zur Verfügung stellt, mit denen die Schüler experimentieren und Vermutungen formulieren, bekräftigen und falsifizieren können.

Bei Anwendungsaufgaben muss der gesamte Modellierungskreislauf durchlaufen werden. Nicht die Vielzahl von Aufgaben, sondern die Tiefe der Modellierung ist wesentlich. Oft fand aber die Arbeit fast ausschließlich auf der mathematischen Seite statt, eigentliche Modellierungsaktivitäten, wie Erstellung des mathematischen Modells, Modellkritik und Validierung der mathematischen Ergebnisse sind zu kurz gekommen. Hier kann natürlich ein CAS sehr hilfreich sein, indem Schüler Ideen verfolgen können, die ohne CAS schon aufgrund des nötigen Rechenaufwands verworfen werden müssten.

Die Schüler gaben in ihren Fragebogen-Antworten oft erschreckend kurze häusliche Arbeitszeiten an, im Grundkurs z.T. Null (!) Stunden pro Woche, aber auch im Leistungskurs maximal 3 bis 4 Stunden pro Woche. Höhere Zeiten wurden nur für die Vorbereitung auf Klausuren genannt. Dies steht im Widerspruch zur oftmals beklagten Überforderung. Insgesamt entsteht der Eindruck, dass die Schülerinnen und Schüler noch weniger als in normalen Klasssen verstanden haben, dass sie aber mehr "Mathematik gesehen" haben. Die formalen Fähigkeiten sind vermutlich schlechter als in herkömmlich unterrichteten Klassen ausgebildet.

Wie im letzten Schuljahr, so haben auch in diesem Jahre die beteiligten Kollegen sehr engagiert das Schulprojekt geführt. Die Belastungen waren ungewöhnlich hoch, die Vorbereitungszeit pro Unterrichtsstunde betrug drei bis vier Stunden. Einige Kollegen haben ihre Klassen in den Medien (örtliche Zeitungen, Fernsehen, Kongresse) oder in schulinternen Projekten vorstellen können. Alle sind trotz der großen Mühe und mancher Enttäuschungen insgesamt zufrieden mit dem Verlauf des Projekts und gehen mit Zuversicht in das abschließende 13. Schuljahr.

7 Anhang

Schülerfragebogen (vgl. Datei PIMOKL_Umfr_S98_Auswertung.doc)

Lehrerfragebogen

Beispiele für Arbeitsblätter und Klausuren :
 

Backnang

Lk: Arbeitsblatt (Kurvenscharen bei gebrochen rationalen Funktionen) A1

Klausur Nr. 2 A2

Klausur Nr. 6 A3

Arbeitsblatt (Mehrstufige Prozesse) A4
 

Karlsruhe

Lk: Arbeitsblatt (Drehkörper mit Schülerlösungen) A6

Gk: Arbeitsblatt (Integralrechnung) A17

Treppenfunktion A17b

Drehkörper A19
 

Lörrach

Lk: Klausur Nr. 1 A22

Klausur Nr. 5 A24

Gk: Klausur Nr. 1 A25

Arbeitsblatt (Drehkörper mit Schülerlösung) A26
 

Reutlingen

Gk: Arbeitsblatt (Gebrochen-rationale Funktionen) A31
 

Für die pädagogische Begleitung:

Karlsruhe, 23. September 1998
Dr. Hans-Wolfgang Henn