PIMOKL /

CASIMU

Pilotprojekt Mobiles Klassenzimmer /

Einsatz eines Computer-Algebra-Systemes im

Mathematikunterricht

 

Pädagogische Begleitgruppe Karlsruhe

Vorschlag für einen Stoffverteilungsplan

für die Klassen 11 13

(auf der Grundlage der Erfahrungen der Versuchsschulen)

Dieser Vorschlag setzt voraus, dass die Schüler ein CAS zur Verfügung haben. In jeder Klasse wird von 4 Wochenstunden ausgegangen (ein gemeinsamer Mathematikkurs in der Oberstufe). Daher umfasstt dieser Vorschlag 120 Stunden für die Klasse 11, etwa 190 Stunden für die Klassen 12 und 13. In Klasse 12/13 gibt es vier Sternchenthemen. Eines davon ist im Wechsel verbindlich. Die Reihenfolge der Einheiten ist als Vorschlag gedacht.

Klassenstufe 11

I Einführung in das Werkzeug <5>

Einführung in die Benutzung von Rechner und Programm in Verbindung mit den fundamentalen Befehlen (Termzuweisung, Funktionsdefinition, Lösen von Gleichungen, Zeichnen von Graphen). Befehlsvarianten sollten auf ein Minimum reduziert werden. Die Erweiterung erfolgt im Zusammenhang mit dem jeweiligen mathematischen Inhalt.

Bedienung des Geräts, Windows-Umgebung

elementare Sprachelemente

II Kompetenz im Umgang mit Funktionen, Funktionsbegriff <30>

Angestrebt wird ein grundlegendes Verständnis von Funktionen im Wechselspiel zwischen Term und Schaubild bei den aus der Mittelstufe bekannten Funktionstypen. Im Umgang mit Funktionen genügen oft qualitative Betrachtungen.

motivierender Zugang

Beispiele aus der Erfahrungswelt der Schülerinnen und Schüler

Funktionen zur Beschreibung von Abhängigkeiten

elementare Funktionen

 

Erkennen in Schaubild und Term von x mx+c, m, c Î R, x xn, n Î N, x ,

x , x , x sin(x), x cos(x), x ax, x loga(x), aÎ R+\{1}

Funktionenscharen

Grundtypen und ihre affinen Bilder

Propädeutik der Kurvenuntersuchung

III Elementare Modellbildung <15>

Es werden elementare Werkzeuge für den mathematischen Modellbildungsprozess bereitgestellt. Im Vordergrund steht die Mathematisierung von Situationen, insbesondere das Auffinden von Funktionen, die gegebene Abhängigkeiten beschreiben. Bei der Behandlung der linearen Gleichungssysteme geht es um den Überblick über die Formen der Lösungen, nicht um eine systematische Theorie des Lösungsraums.

Lineare Gleichungssysteme

Problembezogene Interpretation von Term und Schaubild

Bestimmung von Funktionen in einfachen Fällen

Methode der Linearisierung (in Verbindung mit allen Grundtypen)

IV Binomialverteilung <20>

Durch das CAS entfällt die übliche Beschränkung auf tabellierte Spezialfälle.

binomialverteilte Zufallsvariable

Parameterschätzung

V Änderungsraten von Funktionen <15>

Die Untersuchung des Begriffs "Änderungsverhalten von Funktionswerten" führt von mittleren Änderungsraten zur momentaren Änderungsrate (Ableitung als Maß für das lokale Änderungsverhalten)

mittlere und momentane Änderungsrate

Ableitungsbegriff, Ableitungsfunktion

Ableitung einfacher Funktionen bzw. Funktionstypen

x mx + c, x x2, x x3, x , x , x

Änderungsrate in verschiedenem Kontext, auch Tangente

Anwendung der Änderungsrate zur näherungsweisen Rekonstruktion einer Funktion

 

VI Differentialrechnung <20>

Die Ableitungsregeln sollten nur so weit behandelt werden, wie es für das Verständnis der Rechnerergebnisse notwendig ist. Die Untersuchung von Funktionen sollte nicht im Sinne einer"Kurvendiskussion" schematisiert werden.

Ableitung von x xn, n Î Z, x sin(x), x cos(x)

Ableitungsregeln für Summe, Produkt, Quotient und Kettenregel

Eigenschaften von Funktionen, höhere Ableitungen

Kriterien für Monotonie, Extrem- und Wendestellen

VII Mathematik in der Praxis <15>

Der Problemlöseprozess sollte an wenigen, aussagekräftigen Beispielen in allen Schritten (Problembeschreibung, mathematische Modellierung, Durchführung der Modellrechnung, Interpretation, Modellkritik, Validierung) bewusst werden.

Untersuchung von Funktionen in realem Bezug u.a. auf Extremwerte

Klassenstufe 12 13

VIII Grundlagen <25>

Im Vordergrund steht die Präzisierung des bisher anschaulichen Grenzwertbegriffs und die Erweiterung der Beweistechniken. Das CAS dient nur zur Visualisierung.

Folgen, Reihen

Grenzwert

Vollständigkeit, Nullstellensatz

vollständige Induktion

die Eulersche Zahl e

IX Rekonstruktion von Funktionen <10>

Aus dem bekannten Änderungsverhalten wird der Bestand zunächst näherungsweise berechnet. Durch Übergang zu momentanen Änderungsraten gelangt man zum Integralbegriff. Der innere Zusammenhang zwischen Änderungsraten und Bestand wird als Hauptsatz formuliert.

Aufsummieren von Änderungen

Integralbegriff, Integralfunktion

Rekonstruktion in verschiedenem Kontext, auch Flächeninhalte

Zusammenhang zwischen Integral und Ableitung (Hauptsatz)

X Integralrechnung <10>

Die Integrationsregelen sollten nur so weit behandelt werden, wie es für das Verständnis der Rechnerergebnisse notwendig ist. Es geht um möglichst viele verschiedenartige Aspekte des Integralbegriffs. Die Deutung als Flächeninhalt steht nicht im Vordergrund.

Stammfunktionen, Anwendung zur Bestimmung von Termen von Integralfunktionen

Integralfunktionen zu x xn, n Î Z\{-1}, x sin(x), x cos(x)

Eigenschaften des Integrals,

Integrationsregeln als Umkehrung der Ableitungsregeln

XI Vektoren im Anschauungsraum <30>

Es geht um die koordinatenfreie vektorielle Beschreibung von Figuren und Körpern im Anschauungsraum, nicht um eine Theorie des Vektorraums.

Vektoren als Pfeilklassen im Anschauungsraum

Rechengesetze für Vektoren (Addition, S-Multiplikation)

lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren

Skalarprodukt, Kreuzprodukt und ihre Eigenschaften

Beweisen mit Hilfe von Vektoren

XII Geometrische Objekte im Anschauungsraum <40>

Es geht um das Verständnis für die mathematische Beschreibung der geometrischen Objekte und für die Verfahren zur Bestimmung ihrer Schnittmengen. Das CAS dient höchstens zum Lösen von Gleichungssystemen. Bei der Modellbildung mit geometrischen Methoden ist insbesondere an eine Verbindung zur Analysis gedacht.

kartesische Koordinaten, Komponentendarstellung von Vektoren

Darstellung von Punkten, Geraden, Ebenen, Kugeln und Kreisen

gegenseitige Lage von Punkten, Geraden, Ebenen, Kugeln und Kreisen

Modellbildung mit geometrischen Methoden (zum Beispiel Beschreibung bewegter Objekte im Raum, Sattelflächen)

 

XIII Erweiterte Kompetenz im Umgang mit Funktionen <35>

Es geht um die Erweiterung des Funktionsbegriffs und der Darstellungsarten. Kurven verbinden die Gebiete Analysis und Geometrie.

Umkehrfunktionen

spezielle Funktionen, insbesondere Exponential- und Logarithmusfunktionen

Funktionen von zwei Variablen und ihre Schaubilder

Kurven, Parameterdarstellung, Polarkoordinaten

XIV Differentialgleichungen* <20>

Die Behandlung von Differentialgleichungen führt die Idee der Rekonstruktion von Funktionen folgerichtig fort. Qualitative Betrachtungen stehen im Vordergrund.

Richtungsfelder, Euler-Cauchy-Verfahren

Bestimmung von Lösungstermen in einfachen Fällen

Phasendiagramme

Dynamische Prozesse

XV Abbildungen in Ebene und Raum* <20>

Ziel ist die analytische Beschreibung von Abbildungen. Es ist nicht an eine Klassifikation gedacht.

Matrizen und ihre Multiplikation

Ähnlichkeitsabbildungen

elementare Computergraphik

XVI Approximation* <20>

Anwendungsprobleme lassen sich in der Regel nur näherungsweise lösen. Unverzichtbar ist ein Grundverständnis für die Qualität der angewandten Verfahren.

Kurvenanpassung (z.B. Splines, Taylorpolynom, Bezierkurven, Fourierpolynom)

Nullstellenbestimmung (z.B. Newtonverfahren, allgemeines Iterationsverfahren)

numerische Integration (z.B. Simpsonregel)

 

XVII Vertiefung der Stochastik* <20>

Methoden der Analysis erweitern die Möglichkeiten stochastischer Modellbildung im Übergang von diskreten zu stetigen Wahrscheinlichkeitsräumen. Wegen ihrer universellen Bedeutung bietet sich die Normalverteilung an.

Dichtefunktion

Wahrscheinlichkeitsverteilung, z.B. Normalverteilung

Testen

Parameterschätzung

XVIII Mathematik in der Praxis <20>

Besonders wünschenswert ist die Behandlung von offenen Problemstellungen, die die Grenzen der mathematischen Teildisziplinen (Analysis, Geometrie, Stochastik) überschreiten.

Behandlung realitätsnaher Probleme mithilfe von Funktionen und Gleichungssystemen (mehrstufige Prozesse) in den Schritten Problembeschreibung, mathematische Modellierung, Durchführung der Modellrechnung, Interpretation, Modellkritik, Validierung.

XX Seminararbeit <10>

Die Schülerinnen und Schüler bearbeiten in Einzel- oder Teamarbeit selbständig ein gegebenenfalls auch umfangreicheres Thema. Dabei kommt es besonders auf die Dokumentation und Präsentation der Ergebnisse an.

Beschreibung von Aufgabenstellung und Erwartungshorizont

Präsentation der Ergebnisse

[die Bearbeitungsphase ist in den 10 Stunden nicht enthalten]