Ballon.mws

Das Aufblasen eines Luftballons ist manchmal nicht ganz einfach. Besonders am Anfang kann ein kräftiger Luftstoß erforderlich sein, um die Ballonhaut überhaupt mal auseinanderzukriegen. Wenn man es soweit geschafft hat: Nimmt die Größe des Ballons gleichmäßig zu?
Nehmen wir der Einfachheit mal an, der Ballondurchmesser sei am Anfang Null.
(Der Ballon sei kugelförmig.)
a) Der Luftstrom in den Ballon betrage 0,4 Liter pro Sekunde.
Gib in einer Tabelle an, wie groß der Durchmesser des Ballons nach 1s, 2s, 3s, ... ,10s ist.
Stelle grafisch die den Ballondurchmesser in Abhängigkeit von der Zeit dar.

b) Angenommen, der Durchmesser des Ballons nimmt gleichmäßig pro Sekunde um 2cm zu.
Gib in einer Tabelle an, wieviel Luft in dem Ballon nach 1s, 2s, 3s, ... ,10s ist.
Stelle grafisch die Luftmenge des Ballons in Abhängigkeit von der Zeit dar.
Wie groß müsste der Luftstrom in den Ballon sein
- durchschnittlich während der 10 Sekunden?
- während der achten Sekunde?
- sieben Sekunden nach dem Start?

a) Der Luftstrom in den Ballon beträgt 0,4 Liter pro Sekunde.

> restart; with(plots):Digits:=20:

> f:=t->2*(300/Pi*t)^(1/3);
f berechnet den Durchmesser des Ballons.

[Maple Math]

> DurchmesserTabelle:=array([seq([t,evalf(f(t))],t=1..10)]);

[Maple Math]

> plot(f(t),t=0..10);

[Maple Plot]

Der Durchmesser des Ballons wächst nicht gleichmäßig, je größer der Ballon, um so geringer die Zunahme pro Sekunde.

Weitere Fragen:
Wie groß ist die mittlere Geschwindigkeit, mit der der Durchmesser des Ballons während der ersten 10 Sekunden wächst?
Wie groß ist die mittlere Geschwindigkeit, mit der der Durchmesser von der 4. bis 6. Sekunde wächst?
Gib in einer Tabelle die mittleren Geschwindigkeitswerte in den Zeitintervallen [4;4,1], [4;4,01], ...,[4;4,000000001] an.
Wie groß etwa ist die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt 4 Sekunden?
Gib eine Funktion v_ugf an, die zu jedem Zeitpunkt den ungefähren Wert der Geschwindigkeit angibt. Zeichne deren Kurve und die Durchmesserkurve in ein Koordinatensystem.
Bestimme die Funktion v, die zu jedem Zeitpunkt den genauen Geschwindigkeitswert angibt. Zeichne die v-Kurve in das vorhandene Koordinatensystem dazu.

> evalf((f(10)-f(0))/10);
durchschnittliche Geschwindigkeit, mit der der Durchmesser in den ersten 10 Sekunden wächst.

[Maple Math]

> evalf((f(6)-f(4))/2);
durchschnittliche Geschwindigkeit, mit der der Durchmesser von der 4. bis zur 6. Sekunde wächst.

[Maple Math]

> z:=(1/10)^t:
df:=f(4+z)-f(4):
array([seq([4,evalf(4+z),evalf(df/z)],t=1..9)]);
Zum Zeitpunkt 4s wächst der Durchmesser etwa mit der Geschwindigkeit 1,21cm/s.

[Maple Math]

> z:=0.000000009:
v_ugf:=t->(f(t+z)-f(t))/z;
gibt an, mit welcher Geschw. der Durchmesser zum Zeitpunkt t ungefähr wächst.
v_genau:=D(f);

[Maple Math]

[Maple Math]

> f_Kurve:=plot(f(t),t=0..10,color=blue):
v_ugf_Kurve:=plot(v_ugf(t),t=0..10,color=green, style=point):
v_genau_Kurve:=plot(v_genau(t),t=0..10,color=red):
display({f_Kurve,v_ugf_Kurve,v_genau_Kurve},view=[0..10,0..20]);

[Maple Plot]

> evalf(v_ugf(0.00000001));
evalf(v_genau(0.00000001));
Vorsicht: v_ugf kann doch ziemlich von v_genau abweichen!

[Maple Math]

[Maple Math]

b) Der Durchmesser des Ballons nehme nun gleichmäßig um 2cm pro Sekunde zu

> restart;with(plots):

> V:=t->4/3*Pi*t^3;

[Maple Math]

> VTabelle:=array([seq([t,evalf(V(t))],t=1..10)]);

[Maple Math]

> plot(V(t),t=0..10);

[Maple Plot]

> evalf(V(8)-V(7));
Der durchschnittliche Luftstrom während der 10 Sekunden wäre etwa 0,42 Liter pro Sekunde.
Der durchschnittliche Luftstrom während der 8. Sekunde wäre etwa 0,71 Liter pro Sekunde.

[Maple Math]

> z:=(1/10)^t:
dV:=V(7+z)-V(7):
array([seq([7,evalf(7+z),evalf(dV/z)],t=1..9)]);

[Maple Math]

Der Luftstrom zum Zeitpunkt 7s beträgt ungefähr 0,6157 Liter pro Sekunde.

> z:=0.0001:
I_ugf:=t->(V(t+z)-V(t))/z;
gibt an, wie groß der Luftstrom zum Zeitpunkt t ungefähr ist.

[Maple Math]

> I_genau:=D(V);

[Maple Math]

> V_Kurve:=plot(V(t),t=0..10,color=blue):
I_ugf_Kurve:=plot(I_ugf(t),t=0..10,color=green,style=point):
I_genau_Kurve:=plot(I_genau(t),t=0..10,color=red):
display({V_Kurve,I_ugf_Kurve,I_genau_Kurve});

[Maple Plot]

>