M GK 12.2 97/98 am HTG

26.6.98

Volumen eines Drehkörpers

> restart;with(student);

[Maple Math]
[Maple Math]
[Maple Math]

Wiederholung

[Maple Math]

Skizze:

Integral oder Bestand = Grenzwert einer Produktsumme: Änderungsrate*Dauer

Geometrische Deutung: Summe von Rechtecksflächen als Näherung für eine Fläche zwischen der Kurve und der x-Achse

Tabelle: Änderungsrate Bestand

Geschwindigkeit Weg

Zu/Abfluß Inhalt

Kraft Weg

Durchmesser Flächeninhalt

Querschnitt Volumen

>

>

Ein Flächeninhalt als Grenzwert von Rechteckssummen

> a:=0;b:=7;f:=x->3/5*x;

[Maple Math]

[Maple Math]

[Maple Math]

Darstellung der Untersumme bei 10 äquidistanten Unterteilungen des Intervalls [a..b]:

> leftbox(f(x),x=a..b,10);

[Maple Plot]

Die Untersumme bei n Unterteilungen und variabler oberer Intervallgrenze b:

> b:='b';dt:=(b-a)/n;
minInhalt:=sum(dt*f(a+i*dt),i=0..n-1);

[Maple Math]

[Maple Math]

[Maple Math]

Der Bestand "Flächeninhalt" im Intervall [0..b] als Grenzwert der Rechtekssummen

> F:=limit(minInhalt,n=infinity);

[Maple Math]

Die Flächeninhaltsfunktion als Stammfunktion der Randfunktion

> F:=unapply(F,b);

[Maple Math]

> Fs:=D(F);f(x);

[Maple Math]

[Maple Math]

Damit ist der Flächeninhalt A als Integral mit der Randfunktion f als Integranden zu deuten:

> A:=int(f(x),x=0..b);

[Maple Math]

>

Volumen eines Rotationskörpers als Grenzwert von ...

Das Schaubild obiger Funktion rotiere um die x-Achse.

Was für ein Körper entsteht?

Beschreibe die Art der Annäherung an das Volumen durch die rotienden Rechteckssummen.

Eine untere Grenze für das Volumen bei n Unterteilungen und variabler oberer Intervallgrenze b:

> b:='b';dt:=(b-a)/n;
minVolumen:=sum(Pi*f(a+i*dt)^2*dt,i=0..n-1);

[Maple Math]

[Maple Math]

[Maple Math]

Der Bestand "Volumen" im Intervall [0..b] als Grenzwert der ...........summen

> V:=limit(minVolumen,n=infinity);

[Maple Math]

Die Volumenfunktion als Stammfunktion der ..........funktion

> V:=unapply(V,b);

[Maple Math]

> Vs:=D(V);

[Maple Math]

Damit ist das Volumen V als Integral mit der ......................... als Integranden zu deuten:

> V:=int(pi*f(x)^2,x=0..b);

[Maple Math]

>

>

Zusatzaufgabe:

Überprüfe das Ergebnis an besonderen Rotationskörpern.

Überlege zunächst wie die Randfunktion lautet:

a) Zylinder

b) Kugel

c) Paraboloid

Lösung der Zusatzaufgabe

> restart;
b:='b';a:=0;dt:=(b-a)/n;
Randzyl:=x->h;
Randhalbkugel:=x->sqrt(r^2-x^2);
Randpar:=x->sqrt(x);

[Maple Math]

[Maple Math]

[Maple Math]

[Maple Math]

[Maple Math]

[Maple Math]

> Vzyl:=limit(sum(Pi*Randzyl(a+i*dt)^2*dt,i=0..n-1),n=infinity);
Vzyl:=unapply(Vzyl,b);Vzyls:=D(Vzyl);Querzyl:=Pi*Randzyl(b)^2;

[Maple Math]

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[Maple Math]

> Vhalbkugel:=limit(sum(Pi*Randhalbkugel(a+i*dt)^2*dt,i=1..n),n=infinity);
Vhalbkugel:=unapply(Vhalbkugel,b);Vhalbkugels:=D(Vhalbkugel);Querhalbkugel:=Pi*Randhalbkugel(b)^2;

>

>

>

>

[Maple Math]

[Maple Math]

[Maple Math]

[Maple Math]

> Vpar:=limit(sum(Pi*Randpar(a+i*dt)^2*dt,i=0..n-1),n=infinity);
Vpar:=unapply(Vpar,b);Vpars:=D(Vpar);Querpar:=Pi*Randpar(b)^2;

[Maple Math]

[Maple Math]

[Maple Math]

[Maple Math]

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