Themen für die Hausarbeit

Mathematik CAS-LK (Lörrach)

  1. Zykloiden und Parameterkurven

  2. a) Ein Fahrradfahrer hat eine Stelle einer Radspeiche mit einen Leuchtpunkt markiert. Beim Fahren des Fahrrades beschreibt dieser Punkt (von außen beobachtet) eine Kurve, genannt Zykloide.

    In einem geeigneten Koordinatensystem lassen sich die x- und die y-Koordinate dieses Punktes als Funktionen der Zeit (mit der als konstant angenommenen Geschwindigkeit v als Parameter) beschreiben. Zur Darstellung solcher Kurven [x[t],y[t]] gibt es eine Variante des Plot-Befehls.

    Bestimme die Gleichungen für x[t] und y[t].

    Zeichne verschiedene Zykloiden. Diese hängen auch davon ab, in welchem Abstand r vom Radmittelpunkt, dessen Radius R sei, sich der markierte Punkt befindet. Nimm zunächst r=R an.
    Verallgemeinere, wenn das Rad nicht auf einer Geraden rollt. Gib einige Beispiele an.

    b) Versuche in der Literatur weitere interessante Eigenschaften der Zykloiden zu finden, die sich mit den Möglichkeiten von Maple darstellen lassen.

    c) Gegeben ein fester Punkt P, eine Führungsstange PM mit dem Gelenk M und eine Zeichenstange ZS (s. Skizze). Wenn man den Punkt Z auf einem Kreis herumführt, beschreibt der Punkt S eine Kurve, die gesucht ist.

    Nimm zunächst ZM=PM=MS=1 an. Ferner sei der Kreisradius 1.

    Variiere den Abstand des Punktes P zum Führungskreis.

    Untersuche auch, was sich für MS=3 ergibt.

    Was erhält man, wenn man Z nicht auf einem Kreis, sondern auf einer einfachen Lissajous-Figur führt?

    Wie sieht es aus, wenn Z eine Strecke durchläuft?

     
     

    Für handwerklich nicht ganz ungeschickte: baue ein Modell und kontrolliere die Ergebnisse!
     
     

    Hinweis: Die abgebildete Grafik stellt die Bewegung der Punkte Z (Kreis), M(Kreisbogen) und S (Schleife) dar für r=1/2, P(-1,5| 0).

  3. Die Kreiszahl p .
a) Annäherung über ein- und umbeschriebene regelmäßige n-Ecke. Hierzu gibt es die Rekursionsformeln für den Umfang:

(Un: Umfang des umbeschriebenen n-Ecks, En: Umfang des einbeschriebenen n-Ecks)

Beginne mit einem ein- und einem umbeschriebenen Quadrat, Kreisradius=1.

Beginne auch mit ein- und umbeschriebenem Sechseck.

b) Da tan(p /4)=1 ist, kann mit der Umkehrfunktion des tan (arctan) auch den Wert von p bestimmen. Hierzu benötigt man eine Reihentwicklung von arctan(x) in der Umgebung von x=1.

Stelle eine ganz-rationale Näherungsfunktion mit 5 Summanden auf und bestimme p näherungsweise.

Der Nachteil dieser Methode ist,selbst wenn man mehr Summanden der Taylor-Entwicklung benutzt, die schlechte Konvergenz. Wesentlich schneller kommt man mit der sog. Machinschen Formel zum Ziel: arctan(1)=4*arctan(1/5)-arctan(1/239).

c) Das Wallis-Produkt liefert ebenfalls eine mögliche Darstellung von p .

d) Monte-Carlo-Methode: Zufallspunkte im Einheitsquadrat liegen mit der Wahrscheinlichkeit p /4 in einem Viertelkreis um eine Ecke des Quadrats.

e) Die unendliche Summe der Kehrwerte der natürlichen Quadratzahlen liefert ebenfalls den Wert p .

3. Brennpunktseigenschaft von Parabel und Ellipse

Wenn man eine Parabel um ihre Symmetrieachse rotieren läßt, entsteht ein Rotationskörper, dessen innere Begrenzungsfläche man als Parabolspiegel benutzen kann. Dieser hat die folgende Eigenschaft:

Alle Lichtstrahlen eine Parallelbündels gehen nach der Reflexion durch einen Punkt. Wenn das Lichbündel parallel zur Achse einfällt, treffen sich die Lichtstrahlen im Brennpunkt der Parabel.

a) Begründe den behaupteten Sachverhalt rein grafisch-experimentell:

Man nehme eine nach rechts geöffnete Parabel und eine Schar von Geraden, die parallel zur x-Achse verlaufen. Im Schnittpunkt einer solchen Geraden mit der Parabel muß man das Reflexionsgesetz anwenden und kann dann den Weg des reflektierten Strahls zeichnen.

Führe dies möglichst so durch, daß man die Gleichung der Parabel und auch die Richtung der Lichtstrahlen verändern kann.

Kann man Lage des Brennpunkts mit der Parabelgleichung in Beziehung setzen?

Versuche bei einem käuflichen Parabolspiegel für Satellitenempfang die Lage des Brennpunkts und daraus die Gleichung der verwendeten Parabel zu ermitteln.

Was würde geschehen,wenn man bei einer solchen Antenne das Paraboloid durch eine Kugelschale ersetzt? Evtl. auch quantitative Aussage.

b) Eine ähnliche Eigenschaft besitzt die Ellipse: Alle von einem der beiden Brennpunkte ausgehenden Strahlen treffen nach Reflexion an der Kurve bzw. Fläche im anderen Brennpunkt zusammen. Versuche, auch diese Eigenschaft rein grafisch mit Maple zu zeigen.

c) Gib für die Brennpunktseigenschaft der Parabel auch eine exakte Herleitung an.

4. Billardspiel mit gekrümmter Bande

Beim Billard wird eine Kugel gegen die Bande gespielt und trifft nach ein oder zwei Reflexionen auf die Zielkugel (hoffentlich!). Bearbeite dieses Problem für gekrümmte Banden.

5. Das allgemeine Iterationsverfahren

Zur näherungsweisen Bestimmung der Lösungen von Gleichungen gibt es zahlreiche Verfahren. Ein sehr effektives beruht auf der Iteration xn+1=(xn) (s. Lambacher-Schweizer S. 220 ff), das unter bestimmten Voraussetzungen die Lösung von x=(x) liefert.

a) Schreibe eine Prozedur, die das entsprechende "Spinnwebdiagramm" zur Funktion  liefert.

b) Stelle die möglichen Fälle grafisch dar und erläutere sie.

c) Wenn man auch in den Fällen, in denen die Voraussetzungen für die Funktion  nicht vorliegen, das Verfahren trotzdem anwenden möchte, gibt es folgende Variante:

Die Gleichung f(x)=0 ist äqivalent zu p× f(x)=0. Somit auch zu p× f(x)+x=x. Benutzt man also (x)=p× f(x)+x, so kann man durch Wahl des Faktors p erreichen, daß in der Nähe der gesuchten Lösung  die benötigten Voraussetzungen erfüllt und das Verfahren konvergiert.

Begründe diesen Sachverhalt und führe ihn an einigen Beispielen durch.

6. Symmetrie von Funktionen

Zusammenfassende Darstellung der gesamten Problematik mit (auch nicht-trivialen) Beispielen. 7. Fourier-Reihen Eine in der Physik besonders wichtige Methode, Funktionen durch eine Reihenentwicklung darzustellen, sind die Fourier-Reihen. Insbesondere die Darstellung periodischer Funktionen (Rechtecksfolge, symmetrische oder unsymmetrische Dreiecksfolge, Sägezahn) ist hiermit möglich.

Arbeite das beigefügte (englische) Material durch. Stelle einige Beispiele und auch die Theorie unter Einsatz der Möglichkeiten von Maple dar.

8. Taylor-Entwicklung

Diese Methode dient dazu, Funktionen durch ganz-rationale Terme anzunähern (unendliche Reihe). Viele praktische Rechenverfahren (z.B. im Taschenrechner!) für Funktionen wie sin(x) beruhen auf diesen Reihenentwicklungen.

Erläutere das Verfahren an einigen Beispielen (insbesondere: cos(x) in der Umgebung von 0, arctan(x) in der Umgebung von 1).
 
 

9. Splines

Wenn man eine Kurve sucht, die durch eine Anzahl vorgegebener Punkte gehen soll, ist die Methode, eine ganz-rationale Funktion mit hinreichend großem Grad zu bestimmen, nicht die effektivste. Früher hat man ganz praktisch mit einer biegsamen Stahlfeder auf physikalischem Wege die optimale Kurve bestimmt.

a) Gegeben ein Holzbrett mit 7 Nägeln und eine Stahlfeder.

Zeichne die entstandene Kurve vom 1. bis zum 7. Nagel und übertrage sie auf Millimeterpapier (möglichst genau und in einer geeigneten Lage!). Führe ein Koordinatensystem ein und entnimm der Zeichnung die Koordinaten der gegebenen Punkte.

b) Bestimme eine ganz-rationale Funktion vom Grad n (=?), die durch die gegebenen Punkte geht. Vergleiche das Schaubild mit der gegebenen Kurve.

c) Eine Annäherung durch sog. kubische Splines erhält man folgendermaßen:

Gegeben sind die Punkte A, B, C, D, .... Man bestimmt nun für jedes Teilintervall eine Teilfunktion 3. Grades und erhält die Funktionen f1, f2, f3,...,f6 mit folgenden Eigenschaften

Aus diesen Bedingungen ergibt sich ein LGS, dessen Lösung die gesuchte (stückweise definierte Funktion) liefert.

Bestimme die gesuchte Funktion und vergleiche mit der gegebenen Kurve.

c) Verändere die Position der Nägel und führe das Verfahren (evt. auch mit mehr oder weniger Punkten) wiederholt durch. Jetzt darf auch die in Maple eingebaute Spline-Prozedur benutzt werden.

10. Hyperbolische Funktionen; Kettenlinie a) Durchforste die zugängliche Literatur nach dem Begriffe "Hyperbolische Funktionen". Stelle sie grafisch dar und erläutere ihre Eigenschaften.

b) Wie man in der Physik nachweist, bildet eine an zwei Punkten aufgehängte Kette eine Kurve, die sich durch eine der hyperbolischen Funktionen darstellen läßt.

Führe dies praktisch durch, d. h. ermittele konkret die Kurve einer hängenden Kette. Führe ein geeignetes Koordinatensystem ein und versuche, die Kurve durch einen geeigneten hyperbolischen Term zu erfassen.

Gehe zum Vergleich auch von dem Ansatz einer quadratischen Parabele oder einer solchen höheren Grades aus.

11. Volumenbestimmung konkreter Körper

Gegeben sind einige Hohl- und Vollkörper. Deren Volumen ist gesucht.

a) Durch physikalische Messung

b) Durch mathematische Modellierung:

Bestimme die Randkurve durch Messung, eine Funktionsgleichung und daraus das Volumen. Vergleiche mit dem realen Wert.

c) An welchen Stellen des Hohlkörpers (Sektglas) muß man die Markierungen für 20cm3, 40cm3, .... anbringen?

12. Schwerpunkt von Körpern

Mit den Mitteln der Integralrechnung ist es in vielen Fällen möglich, den Schwerpunkt eines Körpers zu berechnen.

Stelle den Sachverhalt an Beispielen und auch etwas allgemeiner dar.

13. Funktionen mit 2 Variablen; Extremwertbestimmung

Gegeben die Fotokopie aus der neuen Ausgabe von Lambacher-Schweizer, S. 199/200.

a) Stelle das behandelte Beispiel in einem Maple-Worksheet dar, insbesondere die Grafiken.

b) Untersuche die Funktion f mit f(x,y) = -x2 +4x - y2 +6y -3 auf lokale Extrema. Zeichnerische Darstellung im 3D-Bild, Schnitte parallel zur xz- und yz-Ebene durch die Extrempunkte, Höhenlinien.

c) Für drei Gemeinden A, B und C soll ein neues Klärwerk K gebaut werden. Gesucht ist der optimale Standort der Anlage (irgendwo innerhalb des Dreiecks ABC). Bestimme diesen Standort, falls die Kosten pro km Verbindungsleitung von C nach K doppelt so hoch sind wie die Kosten von A nach und und von B nach K.