Themen für die Studienarbeit im Schuljahr 1998/99

LK 13 Mathematik (CAS)

E. Dittrich, Helmholtz-Gymnasium, Karlsruhe

Die Studienarbeit ersetzt eine Klausur. Die Ausarbeitung der Themen erfolgt in zweier Gruppen und soll in digitaler Form als Maple-Worksheet bzw. doc-File allen Mitschülern zugänglich gemacht werden. Die wesentlichen Inhalte werden von den Teams in einem Referat (ca. 20 Min) präsentiert. Die schriftliche und elektronische Arbeit wird von allen Schülerinnen und Schülern gleichzeitig abgegeben.

Themen

  1. Polarkoordinaten und die Parameterdarstellung einer Kurve

a) Erläutere den Begriff Polarkoordinaten und verdeutliche ihn an folgender Aufgabe:

Gegeben ist in Polarkoordinaten die Kurve K durch
r = j + sin(j ) ; 0 < j < 2p.
Erstelle eine Zeichnung und entnehme dieser alle Schnittpunkte von K mit den fünf Geraden: y=0, y= 0,5 , y= 1, y = 1,5 , y= 2.
Berechne für x > 0 die kartesischen Koordinaten des Schnittpunktes mit der Geraden
y = 2.

  1. Erläutere die Darstellung von Parameterkurven an Beispielen von Parabel, Kreis und Spiralen. Zur Darstellung der Kurven [x(t),y(t)] gibt es eine Variante des Plotbefehls.
    Versuche interessante Eigenschaften der Spiralen(Zykloide) herauszuarbeiten und sie grafisch darzustellen.

    Verdeutliche die Begriffe an folgenden Aufgaben:
    1) Eine 4m lange Leiter lehnt an einer Hauswand (LS, Analysis 2, S.297)
    Welche Kurve beschreibt
    a) die Mitte M der Leiter
    b) ein Punkt der Leiter, der von den Leiterenden den Abstand a bzw. b hat, wenn die Leiter unten wegrutscht?
    Zeichne jeweils die Bahnkurve.
    2) Gegeben ist die Kurve K durch

Erstelle eine Grafik und beantworte folgende Fragen:
a) Wo liegen die Achsenschnittpunkte?
b)Wo liegt der Tiefpunkt und Wendepunkte von K?
c) Wie groß ist der Inhalt der Flächen zwischen K und den Achsen?

Literatur: LS 11(neu) S.74-75 und LS 12 LK S.294-297

 

 

  1. Funktionen mit zwei Variablen ; Extremwertbestimmung

  2. Erläutere, wie man von Funktionen mit zwei Variablen 3D-Bilder darstellen kann und mit Hilfe der Höhenlinien Extrema bestimmt.
    a) Gegeben ist die Funktion f durch f(x,y) = .
    Bestimme möglichst genau das Zahlenpaar (x,y) für den die Funktion ein Extremum annimmt. Zeichnerische Darstellung im 3D-Bild, Schnitte parallel zur xz- und yz-Ebene durch den Extrempunkt, Höhenlinien.


    b) Die vier Dörfer A, B, C und D sollen an das Stromnetz angeschlossen werden, wobei sie durch ein einziges Umspannwerk U versorgt werden sollen. Wo muß dieses gebaut werden, wenn die Summe der Leitungen von U zu den vier Dörfern möglichst klein sein soll?


    Literatur: LS 11(neu) S.199-200 und ein Woksheet

  3. Splines

Ein häufig auftretendes Problem ist es, eine ganzrationale Funktionen f niedrigsten Grades zu bestimmen, deren Schaubild durch n vorgegebene Punkte geht.


a) Das Schaubild zeigt die Umrisse eines Kotflügels eines Oldtimers. In dem gewählten Koordinatensystem geht das Schaubild durch die Punkte P1(0|0), P2(0,5|1), P3,(5|1) und P4(8|0).

Es soll die ganzrationale Funktion f niedrigsten Grades bestimmt werden, deren Schaubild die Umrisse des Kotflügelds nährungsweise wiedergibt. Diskutiere die "Güte" der Lösung.

  1. Eine Verbesserung der Lösung kann durch die Benutzung der kubischen Splines erzielt werden. Bei der Spline - Funktion wird für jedes der durch die Punkte Pi(xi|yi)gegebenes Teilintervall [xi,xi+1] ein Nährungspolynom vom Grade 3 bestimmt. An den Anschlußstellen der Teilintervalle sollen die Übergänge glatt sein, d.h. die beiden angrenzende Teilpolynome müssen in den Funktionswerten und in den Werten der 1. und 2. Ableitung übereinstimmen. An den Rändern des Gesamtintervalls setzt man die 2. Ableitung gleich Null.
    Wie viele Gleichungen hat das so erhaltene LGS bei Punkten?



  2. Bereite noch ein Beispiel aus dem Straßenbau vor.
    Zwei geraden, parallele Straßenstücke sollen durch eine Kurve "glatt" verbunden werden. Bestimme die Gleichung der Verbindungsstraße zwischen A und B.


Literatur: LS 11 (neu) S.193-195

  1. Taylor – Reihenentwicklung

Die Reihenentwicklung dient zur näherungsweise Berechnung von Funktionen. Sie werden durch ganzrationale Funktionen großen Grades angenährt. Diese Rechenverfahren werden beim Taschenrechner zur Bestimmung von Funktionen wie sin(x), cos(x), ex verwendet.

a) Erläutere das Verfahren an einigen Beispielen (z.B. f(x)=sin(x), f(x)=cos(x),
f(x)= an der Stelle x=0)

b) Zeichne das Schaubild von f mit f(x)=.
Stelle f(x) durch Potenzreihenentwicklung dar.
Trage in das vorhandene Koordinatensystem die Schaubilder der ganzrationalen Funktionen ein, die man erhält, wenn die Potenzreihe nach dem ersten bzw. zweiten bzw. dritten bzw. vierten Glied abbricht.

  1. Entwickle die e-Funktion an der Stelle 0 in einem Taylorpolynom und bestimme damit einen Näherungswert für die Zahl e.

Literatur: LS LK S. 377-379

  1. Bogenlänge

Beschreibe das Verfahren zur näherungsweise Berechnung der Länge einer Kurve.
Entwickle dazu ein Maple-Woksheet, in dem zur vorgegebener Funktion f im Intervall [a,b] bei n Teilpunkten der Nährwert für die Kurvenlänge herauskommt.

Zeichne die Kurve und berechne die Bogenlänge :

a) f(x)= ; a=-1, b=1

b) y² = (3-x)² , a=0, b=5. Schau auch den Maple-Befehl imlicitplot an.

c) Bestimme den Umfang eines Kreises mit Radius r und Mittelpunkt M(0|0).


Literatur: LS LK S.344