Füllen eine Tanks in Abhängigkeit von der Zeit

tank.mws

H. Paulo, 23.9.98

Aufgabe:

Gegeben ist ein kugelförmiger Öltank mit dem Radius 1,20m. Er ist leer und soll gefüllt werden. Der Lieferwagen pumpt das Öl mit einer Zuflußrate von 200 Liter/Minute in den Tank.

a) Wie lange dauert es, bis der Tank voll ist?

b) Stelle die Füllmenge in Abhängigkeit von der Höhe grafisch dar.

c) Nun soll untersucht werden, mit welcher Geschwindigkeit die Füllhöhe zunimmt (Einheit: cm/min). Ermittele den Wert dieser Geschwindigkeit bei halber Füllhöhe und bei 3/4 der maximalen Füllmenge.

Stelle die Füllhöhengeschwindigkeit in Abhängigkeit von der Füllhöhe grafisch dar und interpretiere das Ergebnis.

Lösung

Rechnung in cm. Daher Umrechnung 1 Liter = 1000 cm^3 :

Ferner wird die x-Achse in Richtung der Vertikalen gelegt, so daß die Randkurve ein Halbkreis mit dem Mittelpunkt (R/0) ist, der um die x-Achse rotiert und den Tank erzeugt. Andere Tankformen lassen sich so leicht durch Änderung der Randkurve realisieren.

> restart:

> R:=120;rate:=200000;#Zufluß 200 Liter / minute

[Maple Math]

[Maple Math]

> glg:=(x-R)^2+y^2=R^2; #Die Gleichung des Kreises
HK:=solve(glg,y); # Die beiden Halbkreise
kurve:=unapply(HK[1],x); # Der obere Halbkreis

[Maple Math]

[Maple Math]

[Maple Math]

> V:=Pi*int((kurve(x))^2,x=0..h);

[Maple Math]

> Vmax:=evalf(subs(h=2*R,V)); #Gesamtvolumen
evalf(4/3*Pi*R^3); # Zum Vergleich
zeit:=evalf(Vmax/rate);

[Maple Math]

[Maple Math]

[Maple Math]

> plot(V,h=0..2*R,Vol=0..Vmax);



[Maple Plot]

Nun müssen wir die Gleichung V=rate*t nach H auflösen, um H in Abhängigkeit von t zu bekommen.

> loes:=solve(V=rate*t,h);

[Maple Math]
[Maple Math]
[Maple Math]
[Maple Math]
[Maple Math]

Vorsicht, Falle!!!

Hier ist nicht etwa die erste Lösung die hier gesuchte, sondern die dritte. Diese ist zwar komplex, aber der Imaginarteil ist sehr klein un kommt durch Rundungsfehler zustande! Man merkt dies, wenn man konkrete Lösungen numerisch auswertet:

> evalf(subs(t=1,loes[1]));
evalf(subs(t=1,loes[2]));
evalf(subs(t=1,loes[3]));

[Maple Math]

[Maple Math]

[Maple Math]

Offensichtlich ist der dritte Wert die gesuchte Lösung (nach 1 Minute ist die Füllhöhe niemals 358cm und erst recht nicht negativ!).

> umkehr:=Re(loes[3]);

[Maple Math]
[Maple Math]
[Maple Math]

> um:=unapply(umkehr,t);#die Umkehrfunktion h=f(t).

[Maple Math]
[Maple Math]
[Maple Math]

Dieser Funktion läßt sich plotten.

> plot(um(t),t=0..zeit);

[Maple Plot]

Für den Fall, daß sich eine Funtion nicht plotten läßt, was bei sehr komplizierten Termen durchaus vorkommt, berechnet man ausreichen viele Punkte:

> punkte:=seq([t,evalf(um(t))],t=0..zeit);

[Maple Math]
[Maple Math]
[Maple Math]
[Maple Math]
[Maple Math]
[Maple Math]

> plot([punkte],t=0..zeit);

[Maple Plot]

Hier ist h in Abhängigkeit von t dargestellt. Die Geschwindigkeit, mit der die Höhe zunimmt, ist die Ableitung von h nach t.

Diese finden wir am einfachsten durch implizites Differenzieren der Gleichung V=rate*t.

> V;

[Maple Math]

> iabltg:=Pi*(240*h*hs-h^2*hs)=rate;

> geschw:=solve(iabltg,hs);

[Maple Math]

[Maple Math]

>

Für die halbe Füllhöhe gilt: h=R, also:

> subs(h=R,geschw);

[Maple Math]

> evalf(%);

[Maple Math]

Interpretation: in halber Füllhöhe nimmt die Höhe um 4,42 cm/min zu.

Darstellung dieses Sachverhaltes in Abhänigkeit von H (und nicht von t):

> plot(geschw,h=0..2*R,v=0..20);

[Maple Plot]

Interpretation: Bie halber Füllhöhe ist die Querschnittsfläche maximal, also die Steiggeschwindigheit des Pegels am kleinsten. Am Anfang und am Ende ist die Steiggeschwindigkeit unendlich, da der Term dann nicht definiert ist.

Man kann natürlich auch die Steiggeschwindigkeit in Abhängigkeit von t darstellen, wenn man in der Formel von geschw das h durch um(t) ersetzt:

> geschw:=subs(h=um(t),geschw);

[Maple Math]
[Maple Math]
[Maple Math]
[Maple Math]
[Maple Math]

> plot(geschw, t=0..zeit,v=0..30);

[Maple Plot]

>