Toxine

DGL5.mws, H. Paulo, 30.11.98

Gegeben eine Bakterienkultur, Bestand zur Zeit t sei u(t). Im Laufe der Zeit wird ein bekämpfendes Toxin zugeführt, Menge bis zur Zeit t sei T(t).

Die Todesrate der Bakterien ist dann proportional zum momentanen Bestand u(t) und zur Mengte des Giftes T(t), also proportional zu u(t)*T(t)

Ohne Giftzufuhr wurden sich die Bakterien exponentiell vermehren, d.h. der Zuwachs ist pro. zu u(t). Somit gilt:

u'(t)=a*u(t)-b*u(t)*T(t)

Aufgabe :

Löse die DGL für T(t) = t (gleichmäßige Zufuhr), a=0,2, u(0)=300, b=0,005

Wie entwickelt sich der Bestand im Laufe der Zeit?

Beantworte die gleichen Fragen, wenn T(t)= [Maple Math] , [Maple Math] , [Maple Math] ist. Interpretiere T(t). Ändere auch die Werte für a und b.

Hinweis:

Wenn Maple eine DGL nicht in geschlossener Form lösen kann, dann schreibt man im dsolve.Befehl die zusätzliche Option type=numeric. Also z.B.

loesung:=dsolve(dgsl,u(t),type=numeric);

Die Lösung ist dann eine Prozedur, die aber numerisch ausgewertet und mit odeplot(loesung, t=.....) geplottet werden kann.

Lösung

> restart:with(plots):with(DEtools):

> a:=0.2;b:=0.005;u0:=300;

[Maple Math]

[Maple Math]

[Maple Math]

> dgl:=diff(u(t),t)=(a-b*t)*u(t);

[Maple Math]

> ### WARNING: `dsolve` has been extensively rewritten, many new result forms can occur and options are slightly different, see help page for details
loes:=dsolve({dgl,u(0)=u0},u(t));

[Maple Math]

> u:=unapply(rhs(loes),t);

[Maple Math]

> plot(u(t),t=0..100,y=0..20000);

[Maple Plot]

Man sieht sehr schön, daß die Bakterienzahl zunächst noch sehr stark zunimmt, später aber gegen 0 geht.

> restart:with(plots):with(DEtools):

> a:=0.2;b:=0.3;u0:=500;

[Maple Math]

[Maple Math]

[Maple Math]

> dgl:=diff(u(t),t)=(a-b*(1+sin(t)))*u(t);#periodische Toxinzufuhr

[Maple Math]

> ### WARNING: `dsolve` has been extensively rewritten, many new result forms can occur and options are slightly different, see help page for details
loes:=dsolve({dgl,u(0)=300},u(t));

[Maple Math]

> u:=unapply(rhs(loes),t);
plot(u(t),t=0..20,y=0..400);

[Maple Math]

[Maple Plot]

Je nach Wert von b gibt es eine periodische (b=0.2), auf Null abnehmende (b>0.2) oder nach Unendlich gehende Werte von u(t) (b<0.2).

Numerische Lösungen

> restart:with(plots):with(DEtools):

> a:=0.2;b:=0.005;u0:=500;

[Maple Math]

[Maple Math]

[Maple Math]

> dgl:=diff(u(t),t)=(a-b*t^4/(1+0.01*t^3))*u(t);

[Maple Math]

> ### WARNING: `dsolve` has been extensively rewritten, many new result forms can occur and options are slightly different, see help page for details
loes:=dsolve({dgl,u(0)=300},u(t));

[Maple Math]

Maple findet hier keine Lösung. Also: Numerisches Verfahren

> ### WARNING: `dsolve` has been extensively rewritten, many new result forms can occur and options are slightly different, see help page for details
loes:=dsolve({dgl,u(0)=300},u(t),type=numeric);

[Maple Math]

> loes(1);

[Maple Math]

> loes(2);

[Maple Math]

> p1:=odeplot(loes,t=0..10):
display(p1,view=[0..10,0..1000]);

[Maple Plot]

>