Das Skalarprodukt

euklid1.mws, H.Paulo, 8.1.99

> restart:with(plots):with(linalg):

Warning, new definition for norm

Warning, new definition for trace

Einführung

Gegeben sind die beiden Vektoren a und b durch die Punkte A,P und Q mit a=AP und b=AQ.

Gib die drei Punkte A, P und Q ein und führe die folgenden Mpale-Befehle aus.

> A:=[2,1]: #Anfangspunkt
a:=[7,2]: #Vektor a
b:=[2,8]: #Vektor b

> P:=A+a;Q:=A+b;

[Maple Math]

[Maple Math]

> p1:=textplot({[A[1]-0.5,A[2],` A`],[P[1]+0.5,P[2],` P`],[Q[1],Q[2],` Q`]}):
p2:=plot([[A,P],[A,Q]],x=-10..10,y=-10..10):
display(p1,p2,scaling=constrained);

[Maple Plot]

> a;b;
skp:=a[1]*b[1]+a[2]*b[2];

[Maple Math]

[Maple Math]

[Maple Math]

>

Aufgaben:

Führe die Befehlsfolge für verschiedene Vektoren a,b aus.

a) Was erhält man, wenn a=b ist?

b) Halte einen Vektor fest und vervielfache den zweiten. Wie verändert sich das Skalrprodukt?

c) Gib eine allgemeine Definition für das Skalarprodukt zweier Vektoren (auch für den Raum) an!

d) Verändere nur den Vektor b. Wann ist das Skalarprodukt 0?

Weiterführung

Die Maple-Schreibweise für das Skalarprodukt lautet dotprod(a,b);

Wenn a=b ist, dann erhält man a*a= [Maple Math] + [Maple Math] . Dies ist offenbar gerade das Quadrat der Strecke AP. Somit erhalten wir (auch im Raum):

[Maple Math] =sqrt(a*a).

Die Mapleschreibweise hierfür ist: norm(a,2).

Begründe allgemein die folgenden Eigenschaften für das Skalarprodukt (a,b, c: Vektoren)

1. a*b=b*a

2. (ka)*b=a*(kb)=k(a*b)

3. a*(b+c)=a*b+a*c

4. a*a>=0

1) Begründe ferner: Wenn a und b orthogonal sind, dann gilt a*b=0

2) Untersuche norm(a,2) für den Fall, daß der Vektor a auch Terme mit Variablen enthält. Warum ist es in diesen Fällen besser, auf sqrt(dorprod(a,a)) auszuweichen?

3) Warum muß man ein kartesisches Koordinatensystem voraussetzen?