Abbildungen im Komplexen: w=1/z*

Bild eines beliebigen Kreises

komplex6.mws

Abgebildet wird jeweils eine Gerade (in Parameterdarstellung)

> restart:with(plots):

Gegeben sei z.B. die Abbildung

> w:=z->1/conjugate(z);

[Maple Math]

> z:=x+I*y;

[Maple Math]

> evalc(w(z));

[Maple Math]

> r:=5/2;mx:=8/5;my:=6/5;#Die Daten für den Urbildkreis

[Maple Math]

[Maple Math]

[Maple Math]

> x:=r*cos(t)+mx;y:=my+r*sin(t);#der Urbildkreis

[Maple Math]

[Maple Math]

> plot([x,y,t=-Pi..Pi]);#die Urbildgerade

[Maple Plot]

> evalc(w(z));

[Maple Math]

> xw:=evalc(Re(w(z)));yw:=evalc(Im(w(z)));

[Maple Math]

[Maple Math]

> plot([xw,yw,t=-10..10]);#Das Bild des Kreises

[Maple Plot]

> p1:=plot([x,y,t=-Pi..Pi],color=red):
p2:=plot([xw,yw,t=-Pi..Pi],color=green):
p3:=plot([cos(t),sin(t),t=0..2*Pi],color=blue):
p4:=plot(my/mx*xx,xx=-2..5,color=black):
display(p1,p2,p3,p4,scaling=constrained);#Im gemeinsamen Koordinatensystem

[Maple Plot]

>

>

>

> u:=xw;

[Maple Math]

> v:=yw;

[Maple Math]

> K:=(xx-mx)^2+(yy-my)^2=r^2;#Die Gleichung des Urbildkreises

[Maple Math]

> g:=my/mx*xx;#Die Ursprungsgerade durch den Mittelpunkt

[Maple Math]

> schnitt:=solve(subs(yy=g,K));#Die Endpunkte des Durchmessers von K, der auf g liegt

[Maple Math]

> x1:=schnitt[1];x2:=schnitt[2];

[Maple Math]

[Maple Math]

> y1:=subs(xx=x1,g);

[Maple Math]

> y2:=subs(xx=x2,g);

[Maple Math]

> zz:=x1+I*y1;

[Maple Math]

> w(zz);

[Maple Math]

> P:=[evalc(Re(w(zz))),evalc(Im(w(zz)))];#PQ=Bild des obigen Durchmessers

[Maple Math]

> zz:=x2+I*y2;Q:=[evalc(Re(w(zz))),evalc(Im(w(zz)))];

[Maple Math]

[Maple Math]

> mmx:=1/2*(P[1]+Q[1]);#Mittelpunkt des Bildkreises

[Maple Math]

> mmy:=1/2*(P[2]+Q[2]);

[Maple Math]

> rr:=sqrt((mmx-P[1])^2+(mmy-P[2])^2);#Radius des Bildkreises

[Maple Math]

> (u-mmx)^2+(v-mmy)^2;#Probe, ob das Bild tatsächlich dieser Kreis ist

[Maple Math]

> simplify(%);#siehe da, es stimmt!

[Maple Math]

>