Ministerium für Kultus, Jugend und Sport Baden-Württemberg

Abiturprüfung 1999 Pilotprojekt Mobiles Klassenzimmer Aufgabe II

Haupttermin Grundkurs, lokale Aufgabe Backnang


Die Funktion f sei gegeben durch : f(x) = , x.
Ihr Schaubild sei K .

a) Untersuchen Sie K auf alle wesentlichen Punkte / Eigenschaften . Zeichnen Sie K .
Die y-Achse, die x-Achse und das Schaubild von f schließen eine ins Unendliche
reichende Fläche ein. Untersuchen Sie, ob diese Fläche einen endlichen Inhalt hat und,
falls vorhanden, bestimmen Sie diesen Inhalt.

b) Im Intervall [-1,0] soll die Funktion f durch eine ganzrationale Funktion h von möglichst niedrigem Grad approximiert werden, so dass f und h an der Stelle x = 0 im Funktionswert und in der ersten und zweiten Ableitung übereinstimmen; ferner soll f(-1) = h(-1) und
f(-0,5) = h(-0,5) gelten.
Bestimmen Sie die Funktion h .
Geben Sie eine Stelle aus [-1,0] an, wo das Schaubild von h oberhalb von K liegt.

c) In einem See ist eine Fläche von 1000 m von Algen bedeckt.
Diese Fläche vergrößert sich bei schönem Wetter täglich.
Die Funktion w mit w(t)=100e , t in Tagen, beschreibt die momentane Flächenwachstumsgeschwindigkeit ( in mpro Tag ) .
Es kommt eine Schönwetterperiode.
Bestimmen Sie die Funktion W, die das Wachstum der Algenfläche in dieser Zeit
beschreibt. Nach wieviel Tagen hat sich die Algenfläche verdoppelt ?
Nach den ersten 3 Tagen Schönwetter folgt ein Tag Schlechtwetter, wo das Wachstum der
Algen stagniert, dann folgen weitere 3 Tage Schönwetter. Definieren Sie eine Funktion W1
welche dies verdeutlicht, und zeichnen Sie das Schaubild von W1.

d) Bestimmen Sie die Gleichung derjenigen Kugel K, die ihren Mittelpunkt in M(1|1|1) hat
und die Ebene E : 2x+ x+ 2x- 14 = 0 berührt.
Welche Koordinaten hat der Berührpunkt ?
Durch Spiegelung der Kugel K an der Ebene E erhält man die Kugel . Geben Sie eine
Gleichung von an. Zeigen Sie, daß genau eine der drei Koordinatenebenen berührt.
sei der Mittelpunkt der Kugel . Wo liegen die Punkte, von denen die Strecke unter einem rechten Winkel erscheint ?
Von welchen Punkten der Geraden g : erscheint die Strecke
unter einem rechten Winkel ?

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