Referatsthemen März 1998

(Grundkurs 12, Karlsruhe)

  1. "Entdecke und beweise es!"
    f ist eine ganzrationale Funktion 3. Grades mit den Nullstellen -1, 2 und 3. Zeichne die Tangente für x0=2,5. Was fällt auf? Teste weitere Beispiele, um die Vermutung zu erhärten. Verallgemeinere und beweise!
  2. In dieser Aufgabe soll die Geometrie eines Rotwein-Glases näher untersucht werden. Gib die Ergebnisse auf Millimeter gerundet an.
    Das Rotweinglas soll innen die Form eines Kugelabschnitts haben, wobei der Durchmesser d des Öffnungskreises 80% des Durchmessers D der Kugel sein soll. Das Glas soll insgesamt 0,29 Liter fassen. Bestimme den Durchmesser D sowie die Höhe h des Eichstrichs für 0,25 Liter.
  3. In dieser Aufgabe soll die Geometrie eines Pils-Glases näher untersucht werden. Gib die Ergebnisse auf Millimeter gerundet an.
    Das Pilsglas hat die Form eines Kegelstumpfs, wobei der untere Durchmesser d=3,5cm und die Höhe des Glases H=18cm betragen soll; das Pilsglas soll insgesamt 0,4 Liter Inhalt haben.
    Berechne den oberen Durchmesser D sowie die Höhe h des Eichstrichs für 0,3 Liter.
  4. Besorge Dir eine Spielfigur (Mensch-ärgere-Dich-nicht). Günstig für die Aufgabe ist ein kugelförmiger Kopf und ein kegelförmiger Körper. Aber auch andere Begrenzungen sind denkbar; dann könnte man eine Näherung versuchen mit einer ganzrationalen Funktion.
    Bestimme das Volumen dieses Körpers!
    Nimm dazu Messungen an der Spielfigur vor und stelle ihren Querschnitt dar.
  5. a) Leite an einer Skizze die Formel aus der Formelsammlung für die Punktsymmetrie zum Punkt W(a/b) her.
    b) Es wird vermutet, daß das Schaubild jeder ganzrationalen Funktion dritten Grades punktsymmetrisch zu ihrem Wendepunkt ist. Beweise diese Vermutung!
    c) Eine ganzrationale Funktion dritten Grades hat den Wendepunkt W(1/1). Ihr Schaubild geht durch die Punkte A(-1/2) und B(2/-1). Bestimme die Funktionsgleichung und zeichne das Schaubild.
    d) Der Punkt A soll nun die Koordinaten (0/3) haben. Beschreibe die Auswirkungen dieser Änderung..
    e) Der Punkt A soll nun die Koordinaten (0/4) haben. Beschreibe die Auswirkungen dieser Änderung..
  6. Extremwertsaufgabe
    Gegeben ist f mit f(x) = 3x-x3 . Es sei P(u/v) ein Punkt auf dem Schaubild von f im 1. Quadranten und Q(u/0).
    a) Bestimme P so, daß der Flächeninhalt des Dreiecks OQP maximal wird.
    b) Bestimme P so, daß das Volumen des Kegels, der bei Rotation des Dreiecks
    OQP um die x-Achse entsteht, maximal wird.