Sandberg.mws

Der von einem Förderband herabfallende Sand türmt sich zu einem kegelförmigen Sandhaufen auf. Dabei bleibt das Verhältnis von Durchmessser (unten) und Höhe des Kegels konstant 1,8.

a) Angenommen, der Sandberg wächst mit konstanter Geschwindigkeit von 0,5m/h in die Höhe. Stelle in einer Tabelle dar, wieviel Sand nach 1, 2, 3, ..., 5 Stunden gefördert ein müsste.
Stelle die geförderte Sandmenge und die momentane Förderleistung in einem Koordinatensystem grafisch dar.

b) Die Förderleistung betrage konstant 1,7m3 pro Stunde.
Wie hoch ist der Sandberg nach 1, 2, 3, ..., 5 Stunden?
Stelle grafisch die Höhe des Sandbergs in Abhängigkeit von der Zeit dar.
Wie schnell wächst der Sandberg durchschnittlich in der 5. Stunde in die Höhe ?
Mit welcher Geschwindigkeit wächst der Sandberg 4 Stunden nach den Start?
Stelle die Berghöhe und die Wachstumsgeschwindigkeit in einem Koordinatensystem in Abhängigkeit von der Zeit dar.

a) Der Sandberg wächst mit 0,5m/s in die Höhe.

> restart;with(plots):

Aus h=0,5*t folgt:

> V:=t->0.27*Pi*(t^3)/8;

[Maple Math]

> VolumenTabelle:=array([seq([i,evalf(V(i))],i=1..5)]);

[Maple Math]

Die momentane Förderleistung ist die Ableitung von V:

> f:=D(V);

[Maple Math]

> pV:=plot(V(t),t=0..5,color=blue):
pf:=plot(f(t),t=0..5,color=red):
display({pf,pV});

[Maple Plot]

b) Die Förderleistung betrage konstant 1,7qm/h.

> restart;with(plots):

Aus r/h=0,9 und 1/3*Pi*r*r*h=1,7*t folgt:

> h:=t->((1.7*t)/(0.27*Pi))^(1/3);

[Maple Math]

> h_Tabelle:=array([seq([i,evalf(h(i))],i=1..5)]);

[Maple Math]

> plot(h(t),t=0..5);

[Maple Plot]

Die Höhe des Sandbergs nimmt nicht gleichmäßig zu. Die mittlere "Wachstunsgeschwindigkeit" während der 5. Stunde beträgt etwa 15,5 cm pro Stunde (siehe Tabelle).

> h1:=D(h):evalf(h1(4));

Momentane Wachstunsgeschwindigkeit zum Zeitpunkt 4 Stunden nach Start:

[Maple Math]

> Hoehe:=plot(h(t),t=0..5,color=blue):
Geschw:=plot(h1(t),t=0..5,color=red):
display({Hoehe,Geschw});

[Maple Plot]

>