Neue Wege in der Mathematikdidaktik -
Dieter Koller, Staatl. Seminar für Schulpädagogik (Gymnasien) Karlsruhe
Inhalt:
  1. Vorbemerkung
  2. Das mobile Klassenzimmer
  3. Beispiele aus dem Unterricht
  1. Didaktische Aspekte
Vorbemerkung Der vorliegende Beitrag wendet sich einerseits an Mathematiklehrerinnen und Mathematiklehrer, andererseits aber auch an die am Mathematikuntericht interessierte Öffentlichkeit. Er ist daher auf die Nachsicht beider Gruppen angewiesen, wenn er etwa als zu wenig tiefgehend, aber auch vielleicht als zu fachspezifisch empfunden wird. Ich hoffe dennoch, allen einen Eindruck vermitteln zu können, wo die mathematikdidaktische Reise hingehen kann.

Die Vorstellungen im Zusammenhang mit dem Einsatz neuer Technologien in der Schule lassen sich weitgehend mit den nachstehenden Grafiken beschreiben:
 
 
 
Manche Probleme brauchen neue Werkzeuge.

 
 
Neue Werkzeuge brauchen neue Methoden.

 

Für den Mathematikunterricht steht heute mit dem Rechner in Verbindung mit einer geeigneten Software ebenfalls ein neues Werkzeug zur Verfügung. Wohl die nachhaltigste Wirkung auf das Unterrichtsgeschehen dürfte der Einsatz von Computer-Algebra-Systemen haben, Programmen, die Numerik, symbolisches Rechnen, Grafik und Text in komfortabler Weise verbinden und dem Nutzer formale Rechengänge weitgehend abnehmen.

Den Didaktiker interessieren jedoch nicht nur diese neuen Werkzeuge und ihr Einfluß auf die unterrichtlichen Methoden, das Feld der Mathematikdidaktik ist umfassender.

Eine weithin akzeptierte Beschreibung des Begriffs Mathematikdidaktik stammt von GRIESEL:

"Didaktik der Mathematik ist die Wissenschaft von der Entwicklung praktikabler Kurse für Mathematiklernen, sowie der praktischen Durchführung und empirischen Überprüfung der Kurse einschließlich der Überlegungen zur Zielsetzung der Kurse und der Stoffauswahl (Griesel 1971)." Didaktik beinhaltet somit auch die Fragen: Wozu betreiben wir Mathematikunterricht? Wozu lernen wir einen Begriff oder ein Verfahren? und natürlich auch: Welche Inhalte eignen sich dafür, die angestrebten Ziele zu erreichen?

Neue Wege in der Mathematikdidaktik haben somit auch mit neuen oder veränderten Inhalten des Mathematikunterrichts zu tun. Die Sinnfrage des Mathematikunterrichts, wozu lehren bzw. lernen wir Mathematik, kann im Rahmen dieser Ausführungen jedoch nur implizit angesprochen werden.

Das mobile Klassenzimmer In Baden Württemberg werden seit dem Jahr 1993 in etwa 40 gymnasialen Klassen Unterrichtserprobungen mit Computer-Algebra-Systemen (CAS) durchgeführt. In Form von Arbeitsgemeinschaften (Sekundarstufe I oder II) oder als Kurse aus dem Wahlbereich (Sekundarstufe II) wird Mathematik mit Einsatz von Programmen wie Maple oder Derive unterrichtet. Dabei wurde deutlich, daß sich der Mathematikunterricht dann stark verändern wird, wenn jede Schülerin und jeder Schüler über einen mobilen Computer ein Computer-Algebra-System einsetzen kann.

Um Erfahrungswerte über solche Veränderungen zu bekommen, wird ab dem Schuljahr 96/97 in Baden-Württemberg das Pilotprojekt "Mobiles Klassenzimmer" durchgeführt. Dazu wurde insgesamt ca. 100 Schülerinnen und Schülern aus vier gymnasialen Klassen der Klassenstufe 11 jeweils ein Notebook mit dem CAS MapleV4 zur Verfügung gestellt. Der Begriff "mobiles Klassenzimmer" steht somit für "mobile Rechner".

Der Versuch wird von einer Betreuungsgruppe am Staatlichen Seminar für Schulpädagogik (Gymnasien) Karlsruhe pädagogisch begleitet. Diese beobachtet den Unterricht, berät die beteiligten Lehrkräfte und organisiert den Informationsaustausch. Unterstützt wird das Projekt außerdem durch eine beratende Arbeitsgruppe aus Mitgliedern der Kultusverwaltung und der Industrie.

Zur schnellen Kommunikation unter den Versuchsklassen wurden auf einem Rechner der Universität Karlsruhe eine mailing-Liste und eine elektronische Ablage eingerichtet, so daß alle beteiligten Kolleginnen und Kollegen jederzeit Zugriff auf alle Berichte und eine mittlerweile recht umfangreiche Materialiensammlung haben. Schüler- und Lehrerbefragungen wurden durchgeführt.

Das Projekt wurde ohne genaue inhaltliche Vorgaben gestartet. In den Klassen war nur darauf zu achten, daß am Ende der Klasse 11 ein etwaiges Zurückwechseln von Schülern in den regulären Jahrgang gewährleistet blieb. Methodisch entwerfen und organisieren die Lehrkräfte ihren Unterricht selbständig. Dies gilt auch für alle Formen der Leistungsmessung bis hin zu einer eigenständigen Abiturprüfung.

Beispiele aus dem Unterricht Das in den Versuchsklassen eingesetzte Computer-Algebra-System MapleV4 ist zunächst ein universitäres Mathematikwerkzeug und an den Hochschulen weltweit stark verbreitet. Trotz seiner enormen Leistungsfähigkeit ist es auch für Schüler gut zugänglich. Für den Einsatz in der Schule eignet es sich insbesondere durch sein Worksheet-Konzept, das Text, Grafik, symbolisches Rechnen, Numerik und Programmierung auf einer Oberfläche verbindet und durch sogenannte Hyperlinks auch die Verknüpfung verschiedener Dokumente bzw. Arbeitsblätter ermöglicht.

Einige Schwerpunkte für den Einsatz eines Computer-Algebra-Systemes im Unterricht sind:

Sie zeigen schon, daß es nicht primär darum geht, den traditionellen Unterricht durch neue Inhalte anzureichern. Im folgenden will ich zeigen, daß Computer-Algebra-Systeme helfen können, zentrale Mathematikziele leichter, effizienter und nachhaltiger zu erreichen als dies bislang möglich ist. Dabei beschränke ich mich hier auf die Beispiele Kurvenschar (Visualisierung), Integral (Einführung des Begriffs) und Kläranlage (Unterrichtsprojekt). Sie entstammen zum Teil aus dem Pilotunterricht. Die Demonstration der zugehörigen Maple-Worksheets kann hier nur zusammenfassend beschrieben werden: Visualisierung: Kurvenschar Wer irgendwann in seinem Leben ein Mathematikabitur abgelegt hat, kennt die Standardaufgabe "Kurvendiskussion". Ausgehend von einem Funktionsterm werden mit den Verfahren der Analysis Eigenschaften der zugrundeliegenden Funktion erschlossen und am Ende in Form eines Schaubilds der Funktion sichtbar gemacht.

Führt man diese Untersuchung einmal auf dem Arbeitsblatt eines Computer-Algebra-Systems durch, kann man weitere Kurven per Knopfdruck automatisiert "diskutieren". Dies spricht nicht gegen den Sinn der klassischen Kurvendiskussion, macht aber deutlich, daß es hier nur um formale Fertigkeiten geht, die abgefragt werden.

Bei Einsatz eines CAS macht das Aufgabenziel Erstellung eines Schaubilds keinen Sinn, in vielen Fällen liefert bereits ein einfacher Plot-Befehl das Gewünschte. Der neue Weg wird umgekehrt verlaufen: Das System liefert ein Schaubild, das nun erst zu Fragen Anlaß gibt. Dies kann zu völlig offenen Aufgabenstellungen führen.
 
Die beiden Kurven beschreiben angenähert die Serienfertigungskosten, welche für das AIRBUS-Seitenleitwerk aus Metall bzw. aus kohlefaserverstärktem Kunststoff angefallen sind. Dabei bezeichnet die Variable x die Anzahl der hergestellten Leitwerke, der Term f(x) die Kosten je Leitwerk, gemessen in Geldeinheiten. 

Untersuche die beschriebene Ausgangs-situation.

 

Eine derartige Fragestellung setzt die Fähigkeit, Kurven zu interpretieren, voraus. Sie regt ein Unterrichtsgespräch an, das den Blick über die Mathematikstunde hinaus hin zu technischen und ökonomischen Fragestellungen öffnet. Mathematisch übt und vertieft sie das Verständnis grundlegender Mathematikkonzepte (etwa wenn die Frage nach der Rentabilität der Umstellung von der einen zur anderen Technologie zur Berechnung eines Integrals führt).

Gegenstand von Kurvendiskussionen sind häufig Funktionen mit Parametern. Durch Variation des Parameters erhält man eine Kurvenschar, die herkömmlich nur in einigen Spezialfällen sichtbar gemacht werden kann. Moderne CAS machen in einer Animation die Abfolge einer großen Zahl solcher Scharkurven sichtbar und tragen damit zu einem besseren Verständnis des Begriffs Kurvenschar bei.

Wesentlich tiefgreifender ist jedoch der Durchstieg von einer parametrisierten Funktion zum eigentlichen mathematischen Hintergrund, zum Verständnis als zweidimensionale Funktion. Diese war traditionell in der Schule nicht visualisierbar und wurde vor allem deshalb nicht behandelt. Der neue Weg in der Mathematikdidaktik behandelt mehrdimensionale Funktionen und ermöglicht damit ein vertieftes und mit Blick auf Anwendungen realistischeres Verständnis des Funktionsbegriffs.

Einführung von Begriffen: Das Integral Neben den Begriffen Funktion oder Ableitung gehört der Begriff Integral zu den Kernkonzepten der Analysis. Er wird unterrichtlich meist über die Frage angegangen, den Inhalt der Fläche unter einer Kurve zu berechnen, und bei Schülerinnen und Schülern somit oft mit dem Inhaltsbegriff gleich gesetzt.

Dieser Zugang liegt für den Unterricht nahe, da er die Anschauung als methodischen Handlauf benutzen kann, und da numerische Betrachtungen nur in sehr (zu) einfachen Fällen unterrichtlich zugänglich sind.

Gerade diese Einschränkung wird durch Computer-Algebra-Systeme überwunden und somit die grundlegende Idee des Integrierens als Rekonstruieren einer Funktion aus ihren Änderungsraten auch im Klassenzimmer zugänglich -ein alter Weg in der Analysis, jedoch ein neuer Weg in der Didaktik des Mathematikunterrichts:
 
Welchen Weg hat das Fahrzeug in der Zeit von 8.00 Uhr bis 9.00 Uhr zurückgelegt?

 

Ein möglicher Zugang besteht darin, aus einem bekannten Geschwindigkeits-verlauf auf den in einer bestimmten Zeit zurückgelegten Weg zu schließen. Dieser Zugang folgt den Schritten:

1. Schaffen eines Problembewußtseins durch ein konkretes Beispiel (Fahrtenschreiber)

2. Auswerten per Hand (Diskretisieren in einer Tabelle, Rekonstruieren durch Aufsummieren)

3. Rekonstruieren per Rechner (Verfeinern, Automatisieren)

4. Visualisieren über Rechteckstreifen

5. Grenzwertbetrachtung

6. Verallgemeinern zu einem neuen Begriff

In den Schritten 3, 4 und 5 ermöglicht ein Computer-Algebra-System das Variieren der Anzahl n der Teilintervalle, das Aufsummieren der Teilwege, die Berechnung des Summenterms auch für allgemeines n und schließlich die Beobachtung, daß sich die Schätzungen des Gesamtweges bei wachsender Schrittzahl stabilisieren. Die Bestimmung des Gesamtwegs als Grenzwert einer Produktsumme wird somit experimentell erfahren und durch aktives Handeln verstanden. Die Visualisierungsmöglichkeiten des CAS, das diese Approximation für jedes n über Rechteckstreifen sichtbar macht, unterstützen den Verständnisprozeß entscheidend.

Auf gleiche Weise läßt sich auch auf die Füllmenge eines Behälters schließen, wenn man die Zu- bzw. Abflußraten kennt, oder auf den Ladezustand eines Kondensators, wenn man die Stromstärke beim Lade- bzw. Entladevorgang kennt. Die Verallgemeinerung des angewandten Rekonstruktionsverfahrens führt dann zum Integralbegriff.

Dieser Zugang entspricht einem anwendungsorientierten Verständnis des Integrals. Er trägt dazu bei, daß das Integral nicht, wie bei Schülerinnen und Schülern oft üblich, nur als Flächeninhalt verstanden wird. Andererseits wird aber in diesem Weg und insbesondere in seiner Visualisierung sofort deutlich, wieso das Integral auch die Berechnung von Flächeninhalten ermöglicht.

Unterrichtsprojekt: Kläranlage Mehrere Gemeinden wollen eine gemeinsame Kläranlage bauen. Wo sollte sie errichtet werden?

Dieser Projektauftrag beschreibt nur eine Situation. Er setzt zunächst eine Phase der Problemerkundung in Gang und damit ein intensives Unterrichtsgespräch unter den Schülerinnen und Schülern. Erst wenn die Aufgabe näher spezifiziert und das Gesamtprojekt in Teilaufgaben zerlegt ist, kann es auf die Suche nach Lösungsideen gehen. Die eigentliche Bearbeitung wird arbeitsteilig in Gruppen erfolgen, die verschiedenen Lösungsansätze führen durch ihren unterschiedlichen Schwierigkeitsgrad zu einer zwanglosen Binnendifferenzierung.

Kennzeichnend für Projektarbeit ist ein hoher Bedarf an Informationsaustausch, für jeden Teilbeitrag ist eine detaillierte Beschreibung und Begründung der Bearbeitungsschritte zwingend. Somit unterstützt das Worksheetkonzept moderner Computer-Algebra-Systeme die Projektarbeit außerordentlich.

Die Projektaufgabe wird von den Schülerinnen und Schülern weitgehend selbständig durchgeführt, die Rolle des Lehrers ist die eines Tutors, der mit Anregungen und mit der Koordination des Ablaufs hilft und auch falsche Lösungswege nicht von vornherein ausschließt.

In meinem CAS-Kurs (Schuljahr 96/97) führte die Bearbeitung dieses Projekts am Ende zu folgenden Teilmodulen, die jeweils ausführlich beschrieben wurden. Grundansatz aller Lösungen war die Minimierung einer Abstandssumme:

Schülerinnen und Schülern arbeiten in aller Regel aktiv und bereitwillig, wenn Selbständigkeit und Teamarbeit geboten ist. Wozu sie in der Lage sind, zeigt ihr Beitrag "Kläranlage in einer Berglandschaft", in dem sie eine überzeugende Visualisierung in einer mathematischen Landschaft (s.u.) und eine Berechnung der Weglängen in der Landschaft mit Hilfe von Bogenintegralen ablieferten. Die zugehörigen Syntax- und Programmierkenntnisse sowie den mathematischen Hintergrund erarbeiteten sie sich aus der Literatur selbständig.
 

Kläranlage in einer Berglandschaft

Didaktische Aspekte Das Computer-Algebra-System ist ein kognitives Werkzeug und ein kognitives Lernmedium. Es zwingt, wie die Beispiele gezeigt haben, zu einem Überdenken der traditionellen Inhalte und Methoden. Dabei sind nicht neue Inhalte gefragt, von Ausnahmen wie mehrdimensionale Funktionen oder Differentialgleichungen abgesehen, vielmehr verschieben sich die Akzente. Formal geprägte Inhalte und Verfahren brauchen die Schülerinnen und Schüler in Zukunft weniger. Dazu gehören Damit verlagern sich die Anforderungen hin zu Problemen, deren Lösung Verständnis für mathematische Konzepte und ein Bewußtsein für mathematische Methoden erfordert. Im Unterricht erhöht sich die Zahl der problemorientierten Fragestellungen. Dies wird von den Schülerinnen und Schülern als sehr anspruchsvoll empfunden.

Die Arbeit mit einem CAS fördert zwar schülerzentriertes, selbständiges Produzieren von Wissen durch die Betonung bestimmter Lernphasen wie Modellieren, Interpretieren und Argumentieren.

Hier äußert sich aber auch eine Schwachstelle des traditionellen Mathematikunterrichts. Die Beschäftigung mit Mathematisierungsproblemen muß - auf allen Klassenstufen und unabhängig von einem Rechnereinsatz - dringend verstärkt werden und dies nicht erst, seit die TIMSS-Studie hier Defizite des gymnasialen Mathematikunterrichts ausgemacht hat.

Eine Schülerbefragung in den Versuchsschulen über die Eindrücke nach dem ersten Jahr ergab:

Der Einsatz von CAS im Unterricht bringt auch neue Probleme. Die Technik von Notebooks scheint nicht "schülersicher", Ausfälle belasten den Unterricht stark. Das Erlernen der Syntax und die Bedienung eines englischsprachigen Systems (Hilfetexte) macht wenig Probleme, ihre Unerbittlichkeit gegenüber noch so kleinen Fehlern (fehlendes Semikolon, Groß- statt Kleinschreibung usw.) verhindert jedoch manchmal die Weiterarbeit total. Der Zeitaufwand für die Bearbeitung eines Problems mit dem Computer ist extrem hoch, zum Teil jedoch auch Folge fehlender didaktischer Reduktion durch die Unterrichtenden (zu hohe Programmieranteile).

Besonderer Aufmerksamkeit bedürfen die Ergebnissicherung und die Leistungsmessung. In einem Unterricht mit Arbeitsblättern werden Ergebnisse i.a. nicht in gleicher Weise gesichert, wie dies eine gemeinsame Erarbeitung mit Tafelanschrieb leisten kann. Bei Leistungstests mit dem Rechner steht auf der Festplatte die Sammlung aller bisher erarbeiteter Aufgaben zur Verfügung. Auch hier verlagert sich der Schwerpunkt hin zu problemorientierten Aufgaben. Kreativität und experimentelles Herantasten an Lösungswege lassen sich jedoch nur schwer in ein vorgegebenes Zeitraster zwängen. Deshalb werden auch neue Formen der Leistungsmessung wie Wochenarbeit, Schülerreferat oder Kolloquium erprobt.

Das Geschehen im Unterricht hat sich durch den Einsatz der Rechner insgesamt verändert. Jede Schülerin und jeder Schüler ist nun mehr als bisher gezwungen, am Unterrichtsgeschehen aktiv mitzuwirken. Auftretende Probleme können nicht mehr unmittelbar und im Klassenverband vom Lehrer gelöst werden, sie werden kollegial untereinander besprochen und geklärt. Kooperationsbereitschaft und Problemlösen im Team werden von den Schülerinnen und Schülern als selbstverständlich empfunden. So berichten alle Versuchslehrer über ein verbessertes Arbeitsklima im Mathematikunterricht. Dies gilt auch für die Lehrer-Schüler-Beziehung, bei der alle Versuchslehrer reibungslos die Rolle des Lehrers als Tutor übernahmen.

Die Arbeit mit einem CAS fördert schülerzentriertes, selbständiges Produzieren von Wissen auch durch die Betonung bestimmter Unterrichtsformen wie projektorientierter Unterricht, fächerverbindender Unterricht, schülerzentrierter Unterricht, kreatives Spielen oder Gruppenarbeit.

Auch die beteiligten Versuchslehrer wurden zum Schuljahresende über ihre Erfahrungen befragt. Sie waren alle trotz ihres extrem hohen Arbeitsaufwandes mit den Ergebnissen ihres Unterrichts zufrieden. Bei einem erneuten Unterricht in Klasse 11 würden sie ihre Vorgehensweise jedoch auch ändern: weniger Computereinsatz, weniger formale Syntax, mehr Heftarbeit, mehr offene Fragestellungen und Verstärkung der Begründungsphase. Positiv empfanden sie die erhöhte Motivation ihrer Schülerinnen und Schüler für das Fach Mathematik und deren Bereitschaft zu kooperativen Lernformen.

Mit Blick auf übergeordnete Bildungsziele macht aber schon der bisherige Verlauf des Pilotprojekts deutlich: Die Arbeit mit einem Computer-Algebra-System im mobilen Klassenzimmer stärkt Schlüsselqualifikationen wie Problemlösevermögen, Teamarbeit, Kommunikationsbereitschaft, die Fähigkeit zu argumentieren, Selbständigkeit und Kreativität.

Einer der Versuchslehrer berichtet über spontane Schülertreffen am Nachmittag und meint dazu: "Wenn der Unterricht mit dem Rechner so motivierend ist, daß sich Schüler selbständig mathematische Probleme vornehmen, hat sich der Einsatz bereits gelohnt, denn was will man mehr?"