Regionale Lehrerfortbildung des Oberschulamts Karlsruhe

zum Thema

Mehrstufige Prozesse
(LPE 5 im Leistungskurs Mathematik)

Autor:
Eberhard Endres
Gymnasium Hockenheim
März 1999
 

Vorbemerkung:

Diese Folien bildeten die Grundlage für den entsprechenden Vortragsteil der o.g. Fortbildungsveranstaltung. Insofern bitte ich um Nachsicht, wenn an der einen oder anderen Stelle Gedankensprünge oder Lücken vorhanden sind, die nur durch ergänzende Erläuterungen in dieser Fortbildungsveranstaltung geschlossen werden können. Die nachfolgenden Aufgaben und Lösungen sind vielleicht dennoch für den einen oder anderen interessant und im Unterricht verwendbar.

Die nachfolgende Kategorisierung ist eine von mir vorgenommene Einteilung und weder vollständig noch in den einzelnen Teilen völlig disjunkt. Sie könnte jedoch u.U. einen kleinen Übersichtsanker beim Bearbeiten von Aufgaben zu mehrstufigen Prozessen bieten und für die Unterrichtsvorbereitung vielleicht ein grobes Schema darstellen.
 

Was sind mehrstufige Prozesse?

(Koller): "Mehrstufige Prozesse" ist ein Sammelbegriff. Er bezeichnet Vorgänge, die sich als diskrete Folge von Zuständen beschreiben lassen. Die Zustände werden i.d.R. durch Vektoren, die Übergänge durch Matrizen dargestellt." Mehrstufige Prozesse im Gymnasium Lehrplaneinheit 5 des Leistungskurses Homogenes und inhomogenes lineares Gleichungssystem

Darstellung eines LGS in Matrizenschreibweise

Äquivalenzumformungen

[ Determinanten, Cramersche Regel ]

Struktur und Lösungsmenge eines homogenen Gleichungssystems

Zusammenhang zwischen der Lösungsmenge eines inhomogenen LGS und der des zugehörigen homogenen LGS

Multiplikation von Matrizen

Mehrstufige Prozesse

Die Umgebung der mehrstufigen Prozesse

Die in der LPE 5 behandelten mehrstufigen Prozesse sind

Informationsfluss

In folgendem Pfeildiagramm wird die Aussage "gibt Information an" dargestellt:


 
von A
von B
von C
von D
nach A
nein
nein
ja
ja
nach B
ja
nein
nein
ja
nach C
ja 
nein
nein
nein
nach D
ja
nein
nein
nein

Materialverbrauch

Ein Unternehmen benötigt in der ersten Produktionsstufe die Rohstoffe Rk zur Herstellung der Zwischenprokukte Zj.
Die Zwischenprodukte Zj werden zur Herstellung der Endprodukte Ei benötigt.

Addition und skalare Multiplikation von Matrizen

Der Verbrauch des Studenten Anton an Laib Brot, Pfund Butter und Flaschen Bier sei in den einzelnen Quartalen gegeben durch die Matrix A, der entsprechende Verbrauch des Studenten Bruno sei gegeben durch die Matrix B:

Bestimmen Sie den gemeinsamen Verbrauch der beiden Studenten.

Bestimmen Sie - gleichbleibendes Konsumverhalten vorausgesetzt - den Gesamtverbrauch von Anton während seines 12-jährigen Studiums.

VG = A + B

V4 = 4 A

Mischungsprobleme

Für ein Leichtbauteil soll eine Legierung aus 4% Titan, 2% Chrom und 94% Aluminium verwendet werden.

Der Herstellerfirma stehen vier verschiedene Legierungen zur Verfügung.
Legierung
1
2
3
4
Titan
0,06
0,01
0,04
0,03
Chrom
0,01
0,03
0,00
0,04

Lineares Gleichungssystem:

Sei xk die anteilige Menge von Legierung k. Dann ergibt sich:

Vitaminbedarf

Drei Lebensmittel L1, L2 und L3 enthalten pro 100g die Vitamine A, B, C und D in folgenden Mengen:
 
A
B
C
D
L1
0,5
0,5
0
0
L2
0,3
0
0,2
0,1
L3
0,1
0,1
0,2
0,5

Wie viel Vitamine nimmt man beim Verzehr von 0,4 kg L1 , 0,2 kg L2 und 0,3 kg L3 im Laufe eines Tages auf?

Der tägliche Bedarf an den vier Vitaminen beträgt 0,5mg/0,8mg/0,8mg/0,2mg. Wie ist dies erreichbar?

Materialverflechtung

Zweistufiger Prozess:

Wie viele Rohstoffe werden für nk Endprodukte Ek benötigt?

Markovketten

Definition:

Gegeben sei ein stochastischer Prozess  wobei  jeweils eine Zufallsvariable über einem endlichen Zustandsraum Z={x1, ... , xk} ist.

Dieser stochastische Prozess heißt Markovkette, wenn die Wahrscheinlichkeiten  für alle j=1,..,k und alle natürlichen Zahlen n nur vom Zustand zum Zeitpunkt n abhängt.

Folgerungen:

(d.h. die Spaltensumme der zugehörigen Matrix ist stets gleich 1).

Hinweis:

Die zugehörige Matrix  ist also stets so zu interpretieren, dass die Spaltennummern die Ausgangszustände und die Zeilennummern die Zielzustände angeben. Dadurch ist die Multiplikation der Matrix (von rechts) mit einem Ausgangsvektor möglich, um den Zielvektor zu erhalten.

Stücklistenproblem

Eine Firma stellt Holztische her.
Jeder Tisch besteht aus einer Platte und vier Beinen.
Jedes Bein besteht aus einem Holzstab und zwei Winkeln.

Ein Kaufhaus bestellt 3 Tische, 2 Platten, 1 Bein und 10 Winkel.
Wie viele "Rohstoffe" werden benötigt?

"Gozinto-Graph":

Technologische Matrix:

Häufig verwendete Begriffe:

Bestimmung des Gesamt-Outputs

Sei  der gesamte Output und  die Bestellung an Tischen (t), Platten (p), Beinen (b), Holzstäben (h) und Winkeln (w), also die Summe der zur Produktion verwendeten und der nach außen gelieferten Teile (externer Output).
Dann ist  der interne Output.

Dementsprechend ist  der gesamte Output.

Damit ergibt sich das lineare Gleichungssystem  mit E als Einheitsmatrix und  als unbekannte Größe.

Für einen Bestellvektor (externer Output) von  erhält man somit einen Gesamtoutput von  .

Sprachengeflecht

Im Wartesaal eines Flughafens sitzen fünf Personen an einem Tisch. Es stellt sich heraus, dass diese Personen folgende Sprachkenntnisse besitzen:
 
 
Deutsch
Englisch
Französisch
Italienisch
Person 1
ja
nein
ja
ja
Person 2
ja
ja
nein
nein
Person 3
nein
ja
nein
nein
Person 4
ja
ja
ja
nein
Person 5
nein
nein
nein
ja

Übersetzung:

Wer kann mit wem und in wie vielen Sprachen direkt kommunizieren?

Wer kann mit wem über genau einen "Dolmetscher" kommunizieren?

Wer kann mit wem und in wie vielen Sprachen direkt kommunizieren?
 
 
 
 

Reduzierte Kommunikationsmatrix

Wer kann sich überhaupt direkt mit wem unterhalten?

(Hauptdiagonale wird 0 gesetzt, die restlichen Zahlen ungleich 0 werden auf 1 gesetzt):

Visualisierung:

Wer kann mit wem über genau einen "Dolmetscher" kommunizieren?

Aufgabenauswahl

Bearbeiten Sie eine in Hinblick auf die zur Verfügung stehenden Zeit geeignete Auswahl von Aufgaben.

  1. Markov-Ketten stellen nur eine Teilmenge der mehrstufigen Prozesse dar. Unter welchen Bedingungen sind mehrstufige Prozesse zugleich Markovketten bzw. unter welchen Bedingungen lassen sich mehrstufige Prozesse zu Markovketten transformieren?
  2. Formulieren Sie eine Fragestellung, die bei einem mehrstufigen Prozess (z.B. einer Käferaufgabe) auf die Lösung eines Gleichungssystems hinzielt.

  3. Welche Problemstellung führt zu dem Ansatz des Auffindens von Eigenwerten und Eigenvektoren einer Abbildung?
    Formulieren Sie zu der gleichen mehrstufigen Prozess-Aufgabe eine Fragestellung, die im Prinzip ein Eigenwertproblem darstellt.
  4. In folgendem Bild sei ein Straßennetz zwischen vier Städten abgebildet.


  5. Beantworten Sie mit Hilfe der Kommunikationsmatrix die Frage, auf wie viel Wegen man von einer Stadt zu einer anderen gelangen kann, wenn man höchstens durch eine dritte Stadt fahren möchte.
  6. Finden Sie eine notwendige und hinreichende Bedingung hierfür, dass zu einer Kommunikationsmatrix C eine Zahl d existiert, dass eine Kommunikation zwischen jedem beliebigen Paar von Stationen/Personen eine Verbindung über höchstens d Zwischenstationen/Dolmetscher möglich ist.
  7. In einer Fabrik werden Stative hergestellt. Die Produktion dieser Stative ist aus nebenstehendem Gozinto-Graphen ersichtlich.


  8. Ein Kaufhaus bestellt 50 Stative, 20 Beine 30 Stäbe und 90 Bolzen.
    Wie sieht der Produktionsplan hierfür aus?
  9. Beantworten Sie - ausgehend von der Musteraufgabe 2 des Oberschulamts Karlsruhe - folgende Zusatzfragen:

  10. Verwenden Sie eine beliebige Anfangsverteilung der drei Farben. Untersuchen Sie die Farbverteilung bei fortgesetzter Kreuzung mit stets pinkfarbenen Pflanzen auf lange Sicht.
    Führen Sie diese Untersuchung mit einer beliebigen Anfangsverteilung der drei Farben bei Kreuzung mit stets rotblühenden Pflanzen durch. Wie lange dauert es, bis es weniger als 1% weißblühende Pflanzen geben wird. Welche langfristige Verteilung ergibt sich hier?
Literaturauswahl Oberschulamt Karlsruhe: Musteraufgaben zu mehrstufigen Prozessen; 1999
veröffentlicht im Internet unter:
http://www.lehrer.uni-karlsruhe.de/~za242/osa/moffenka/index.html

MKS Stuttgart: Musteraufgaben zu den neuen Lehrplänen; 1995

Universität Mannheim: Nachmittagsseminar für Lehrer zum Thema "Mehrstufige Prozesse"; 1998

Niedersachsen: Handreichungen zu "Anwendungen Lineare Gleichungssysteme"

Oberschulamt Stuttgart: Handreichungen für regionale Lehrerfortbildungsmaßnahmen zum Thema "Matrizen - Behandlung im Leistungskurs (LPE 5)

Jörg Meyer, Hameln: Skriptum zum "Leontief-Modell"

Aufgabenbeispiele der Gymnasien zu den neuen Fragestellungen im Abitur - veröffentlicht im Internet unter
http://www.lehrer.uni-karlsruhe.de/~za242/osa/moffenka/index.html

Uwe Beck: "Populationsdynamik und Mathematikunterricht" in: Didaktik der Mathematik 3;1975

Viele weitere Anwendungsbeispiele sind in amerikanischen Lehrbüchern zur linearen Algebra enthalten (einige Autoren: Stewart Venit, Bernard Kolman, Keith Nicolson, William L. Perry)

Lösungshinweise zu der Aufgabenauswahl (ohne Gewähr)
  1. Mehrstufige Prozesse stellen immer dann einen Markov-Prozess dar, wenn die Abbildung von einer Menge M in diese Menge M definiert ist und die zugehörige Matrix jeweils die Spaltensummen 1 besitzt.
  2. Siehe regionale LFB "geänderte Fragestellungen im Abitur" von 1995.
  3. Die Kommunikationsmatrix C sowie C2 lauten:


  4. Somit ist aus der Matrix C+C2 die Anzahl verschiedener Wege über höchstens eine Zwischenstation ablesbar.
  5. Wenn es eine Zahl d gibt, dann gilt für die reduzierte Kommunikationsmatrix R: enthält keine 0.
  6. Die technologische Matrix T lautet:

  7.  

     
     
     
     
     

    ergibt 

  8. a) Anfangsverteilung X0 , Kreuzungsmatrix M:


  9. b) 


Im ersten Fall ergibt sich eine langfristige Verteilung von 1:2:1,
im zweiten Fall wird es auf lange Sicht nur noch rote Pflanzen geben.