Musteraufgaben des Oberschulamts Karlsruhe zum Thema "mehrstufige Prozesse"

© Oberschulamt Karlsruhe
Autoren: Ch. Fisches / E. Endres
 

Der Themenkreis "Mehrstufige Prozesse" im Leistungskurs Mathematik

Bisher wurden (gemäß früherer Lehrpläne) die Objekte und Methoden der linearen Algebra fast ausschließlich zur Lösung geometrischer Fragestellungen eingeführt und angewandt.

Dabei leidet die lineare Algebra häufig darunter, dass mechanisch (manchmal fast gedankenlos) Verfahren abgearbeitet werden, ohne dass sich wenigstens die geometrische Bedeutung der Teilschritte noch bewußt gemacht wird.

Mit der Aufnahme des Themenbereichs "Mehrstufige Prozesse" in den Bildungsplan sollen auch nichtgeometrische Anwendungsbereiche der linearen Algebra behandelt werden. Dabei ist an ein mehr problemlösendes und auf Verständnis gerichtetes unterrichtliches Vorgehen gedacht.

In der Schule behandelte mehrstufige Prozesse zeichnen sich aus durch eine "Ausgangssituation" und eine "Vorschrift", durch die diese "Ausgangssituation" in diskreten Rechenschritten in "Folgesituationen" übergeführt werden kann. Die Matrizendarstellung und Matrizenoperationen dienen hierbei als adäquate Werkzeuge.

Durch die Betrachtung iterativer Vorgänge in komplexen Systemen soll weiterhin das vernetzte Denken in der Schule gefördert werden

Lehrplanbezug: Lehrplaneinheit 5 : Lineare Gleichungssysteme

Begriff (nach D. Koller): Darstellungs- und Beschreibungsformen der Übergänge: Verschiedene Bezeichnungen:

Zahlreiche Anwendungen können als mehrstufiger Prozess beschrieben werden.
Für die Zustandsvektoren und die (Komponenten der )Übergangsmatrizen gibt es in verschiedenen Anwendungsbereichen oft unterschiedliche Bezeichnungen.
Diese Begriffsvielfalt sollte auch im Unterricht angesprochen werden.

Beispiele für Anwendungsbezüge:
 
  Übungsaufgaben, Stoffverteilungsplan, etc.:
 
 

http://www.lehrer.uni-karlsruhe.de/~za122/mathe/mathempr1.html
(Stand 20.12.98)
 
 
 
 

Beispiele für mögliche Fragestellungen:
(Die Zusammenstellung hat exemplarischen Charakter und ist sicher nicht vollständig.)

Textinterpretation, Modellierung; z.B.:

Matrizenmultiplikation und Multiplikation Matrix - Vektor; z.B.: Lösen eines linearen Gleichungssystems; z.B.: Musteraufgabe 1
 
 
14
0
0
11
2
0
0
6
7
0
0
30

Bei einem zweistufigen Produktionsprozess werden zunächst aus den Rohstoffen  und  die Zwischenprodukte  und  hergestellt. In der zweiten Produktionsstufe werden dann aus den Zwischenprodukten die Endprodukte 
und gefertigt.
 
  1. Das nebenstehende Diagramm stellt den Bedarf an Zwischenprodukten für die Fertigung der Endprodukte dar. 

  2. Erstellen Sie eine Endprodukt-Zwischenprodukt-Matrix. Die zur Herstellung der Zwischenprodukte jeweils benötigten Mengeneinheiten (ME) von Rohstoffen sind in der Tabelle zusammengestellt.

 

  1. Beschreiben Sie den Rohstoffbedarf zur Produktion von  und  durch eine Endprodukt-Rohstoff-Matrix.

  2. Wieviele ME werden von jedem Rohstoff benötigt, um 300 ME von und 200 ME von  zu produzieren?
  3. Aufgrund des kurz bevorstehenden Verfalldatums soll der Rohstofflagerbestand aus 390 ME von , 68 ME von  und 56 ME von 
vollständig zur Produktion von Zwischenprodukten eingesetzt werden. Berechnen Sie den Produktionsvektor für die Zwischenprodukte, wenn nur ganzzahlige ME der Zwischenprodukte hergestellt werden können.
 
 
 
 

Lösungshinweise:

  1. b) 


  2. Es werden 53400 ME von , 8400 ME von  und 65600 ME von 
benötigt.

Form angegeben werden. Da nur
nichtnegative Komponenten in Frage kommen, ergibt sich für d die Bedingung  . Für d=0 erhält man den ganzzahligen Produktionsvektor .
Musteraufgabe 2

Eine bestimmte Pflanzenart besitze die drei möglichen Blütenfarben rot (R), pink (P) und weiß (W). Bei der Kreuzung dieser Pflanzen mit einer pinkblühenden Blume entsteht in Abhängigkeit von den Blütenfarben der beiden beteiligten "Elternpflanzen" folgende Farbanteile für die "Kinder":

Eltern "rot" mit "pink" ergibt
50% rot
50% pink
0% weiß
Eltern "pink" mit "pink" ergibt
25% rot
50% pink
25% weiß
Eltern "weiß" mit "pink" ergibt
0% rot
50% pink
50% weiß

In einem Feldversuch werden 4000 rotblühende, 4000 pinkblühende und 4000 weißblühende Pflanzen stets mit pinkblühenden Pflanzen gekreuzt und von jeder dieser 12000 Pflanzen im darauffolgenden Jahr je ein Samenkorn ausgesät. Mit den daraus entstehenden 12000 Blumen wird nun wieder durch Kreuzung mit pinkblühenden Pflanzen jeweils ein Samenkorn gewonnen, welches ein Jahr später erneut ausgesät wird usw.

  1. Veranschaulichen Sie die Übergänge der Blütenfarben von einer Generation zur nächsten durch eine geeignete graphische Darstellung.
  2. Stellen Sie eine Übergangsmatrix von einer Generation auf die nächste für die Kreuzung der drei Blütenfarben mit jeweils pinkblühenden Pflanzen auf.
  3. Bestimmen Sie die Farbverteilung der 12000 Pflanzen nach einem Jahr.
  4. Bestimmen Sie die Farbverteilung nach zwei Jahren. Was lässt sich hieraus über die langfristige Farbverteilung aussagen, wenn dieses Kreuzungsverfahren fortgeführt wird?
  5. Bestimmen Sie die Farbverteilung für die ersten drei Nachfolgegenerationen, wenn man diesen Versuch beginnend mit 6000 weißblühenden und 6000 pinkblühenden Pflanzen, jedoch keiner rotblühenden durchführt.
Lösungshinweise:
  1. Die Farbübergänge stellen eine Markovkette dar und können z.B. durch folgenden Graphen veranschaulicht werden:

  2.  

     
     
     
     
     

  3. Die Übergangsmatrix ist: 
  4. Die Farbverteilung zu Beginn ist 

  5.  

     
     
     
     
     

    Damit ergibt sich als Verteilung nach einem Jahr:

  6. Nach einem weiteren Jahr ergibt sich analog:

  7.  

     
     
     
     
     

    Dies bedeutet, dass die Farbverteilung von 1:2:1 bei dieser Vorgehensweise bereits nach der ersten Kreuzung stabil geworden ist.

  8. Die Übergangsmatrix ist wieder M, und für die Anfangsverteilung verwendet man jetzt

  9.  

     
     
     
     
     

    Hierauf die Matrix M angewandt erhält man:


    und hieraus:

    und 

.

Auch hier läßt sich vermuten, dass die Verteilung 1:2:1 langfristig erreicht werden wird.
 
 

Musteraufgabe 3

Die Bevölkerung eines Landes kann man grob in die drei Klassen Oberschicht (OS), Mittelschicht (MS) und Unterschicht (US) einteilen.

In statistischen Erhebungen hat man festgestellt, dass die Kinder von Angehörigen einer bestimmten Schicht als zukünftige Eltern nicht unbedingt auch dieser Schicht angehören.

Für eine Modellrechnung nimmt man an, dass sich in einem bestimmten Land derzeit 10% der Bevölkerung in der Oberschicht, 60% in der Mittelschicht und 30% in der Unterschicht befinden. Weiterhin wird zunächst angenommen, dass jede Familie genau zwei Kinder hat.

Für die Zugehörigkeit der Kinder zu einer der drei Schichten in Abhängigkeit von der Elternschicht kann man vereinfacht folgende Übergangsmatrix annehmen :
 
d.h. also z.B., dass sich 15% der Kinder von Eltern der Unterschicht später als Elternteil in der Mittelschicht befinden werden.

  1. Zeichnen Sie einen geeigneten Übergangsgraphen.
  2. Bestimmen Sie die Bevölkerungsverteilung der Kinder von 4200 (repräsentativ ausgewählten) Familien.
  3. Wie war unter diesen Modellannahmen die Bevölkerungsverteilung der Eltern dieser 4200 Familien?
  4. Wie ist die Übergangsmatrix zu modifizieren, wenn Familien der Oberschicht nur jeweils ein Kind, Familien der Mittelschicht zwei Kinder und Familien der Unterschicht drei Kinder haben?
Lösungshinweise:
  1. Der Übergangsgraph könnte folgendermaßen aussehen:

  2.  

     
     
     
     
     

  3. Als Ausgangsverteilung wählt man den Vektor 

  4. Damit ergibt sich für die Kindergeneration die Verteilung

    also gehören zukünftig 1092 Kinder der Oberschicht, 4242 Kinder der Mittelschicht und 3066 Kinder der Unterschicht an.

  5. Setzt man  als Verteilung der Eltern, dann ist das lineare Gleichungssystem

  6. und somit  zu lösen.

    Das Gaußsche Eliminationsverfahren liefert:

    Nach diesem Modell entstammen also 80 Elternpaare der Oberschicht, 3400 der Mittelschicht und 720 der Unterschicht.

  7. Durch die geringere Zahl an Kindern, die in der Oberschicht geboren werden und die höhere Zahl der Kinder aus der Unterschicht ist die Übergangsmatrix so zu modifizieren, dass die Übergangsfaktoren für die Eltern aus der Oberschicht halbiert und die Übergangsfaktoren für die Eltern aus der Unterschicht mit 1,5 multipliziert werden müssen:

  8.  

     
     
     
     
     


Musteraufgabe 4
 

Bei einer Tierart werden drei Altersstufen (Jungtiere ,
ausgewachsene Tiere  und Alttiere) unterschieden.
Die Matrix M mit  beschreibt die jährlichen Veränderungen einer Population dieser Tierart.

  1. Welche Bedeutung haben  und  für die Entwicklung der Population?

  2. Wie ist  zu wählen, falls jedes Tier der Alterstufe  entweder selbst die Altersstufe erreicht oder aber stirbt und genau ein Jungtier als Nachfolger hinterläßt?
  3. Zeigen Sie, dass es für einen Wert von  gibt, für den sich jede mögliche Altersverteilung der Tiere nach jeweils drei Jahren wiederholt.

  4. Geben Sie diesen Wert von  an.
  5. Bestimmen Sie für  den Wert von  so, dass es eine Altersverteilung gibt, die sich jährlich reproduziert. Wie viele Tiere gehören bei dieser Altersverteilung und insgesamt 120 Tieren den einzelnen Altersstufen  und 
an ?

Lösungshinweise:

  1. (bzw. ) gibt an, wie die Anzahl / der Anteil der Jungtiere im nächsten Jahr von der Anzahl / dem Anteil der ausgewachsenen Tiere (bzw. der Alttiere) im aktuellen Jahr abhängt. Je größer  bzw.  ist, desto mehr Jungtiere gibt es im nachfolgenden Jahr.

(Spaltensumme=1) .
  1. ;;
  2. Die Bedingung  läßt sich als LGS schreiben:

Dieses hat für  (nichttriviale) Lösungen der Form .
;
Bei der stabilen Altersverteilung gehören 72 Tiere , 36 Tiere  und 12 Tiere an.