Mathematik ohne Grenzen 1995/96

Oberschulamt Karlsruhe - Fachbereich Mathematik

Mathematik ohne Grenzen 1995/96

Zu den Regeln des Wettbewerbs "Mathematik ohne Grenzen"

Zu den Aufgaben des Haupttermins 1995/96

Probetermin 1995/96

Für jede Aufgabe ist ein gesondertes Lösungsblatt zu verwenden.
Bei Aufgabe 4, 6 und 7 genügt die Angabe der Lösung. Sonst muß die Lösung begründet werden.
Die Sorgfalt der Darstellung wird in die Bewertung einbezogen. Auch Teillösungen werden berücksichtigt

Aufgabe 1 - "Vermischt" (10 Punkte)

Bearbeite diese Aufgabe in Französisch, Englisch, Italienisch oder Spanisch (Aufgabenstellung ist hier nur in Englisch wiedergegeben)
In Paul's kitchen a sugar bowl and a salt bowl are placed side by side. These two containers have the same size, the same shape and their contents reach the same level.
Paul, who is a bit of joker, takes a full spoon of sugar from the sugar bowl and puts it into the salt bowl. Then he mixes the whole.
On hearing his mother´s coming, he quickiy puts a spoon of this mixture in the sugar bowl, in order to have the same level in each of the containers.

ls there now more salt in the suger bowl than sugar in the salt bowl ? Explain your answer.

Aufgabe 2 - "Verwechselt" (5 Punkte)

Auf einem Spielwürfel trägt jede Seite eine Augenzahl von 1 bis 6. Die Augensumme gegenüberliegender Seiten ist immer 7.
Unser Zeichner hat versucht, den links dargestellten Würfel in verschiedenen Positionen abzubilden. Dabei hat er sich mehrmals geirrt.

Beschreibe die bei der rechts stehenden Abbildung auftretenden Fehler.

Aufgabe 3 - "Verstellt" (10 Punkte)

Bei der Umstellung von Sommerzeit auf Winterzeit mußte die Uhr an unserem Küchenherd neu eingestellt werden.
Es gibt nur einen Einstellknopf. Hält man ihn gedrückt, so erhöht sich die Minutenanzeige zweimal pro Sekunde um den Wert 1. Beim Wechsel von 59 auf 00 erhöht sich die Stundenanzeige um 1.
Als ich begann, die Uhr nachzustellen, zeigte sie gerade 13.00 Uhr an, eine Stunde zuviel gemäß der Winterzeit. Ich lies den Knopf erst los, als die Uhr auf die Minute genau die richtige Zeit anzeigte.

Wie spät war es da auf die Sekunde genau?

Aufgabe 4 - "Verscheucht" (5 Punkte)

"Mensch, sieht das aber toll aus", ruft Antoine. "Das sind bestimmt 1 00 bis 150 Tiere, die da oben fliegen!". Antoine beobachtet einen Entenschwarm, welcher sich in Form eines gleichzeitigen Dreiecks nach Süden bewegt (siehe Abbildung) Ehe er jedoch Zeit hat, die Tiere zu zählen, zerstört der Knall eines Überschalljägers die perfekte Formation.
Nach kurzer Aufregung formieren sich die Vögel erneut zu zwei gleichseitigen Dreiecken, wobei das eine aus etwa doppelt so vielen Tieren besteht wie das andere.

Aus wie vielen Enten besteht jedes der drei genannten Dreiecke?

Aufgabe 5 - "Verklemmt" (10 Punkte)

Ein kleiner Würfel von 1 cm³ wurde zwischen fünf großen Würfeln so eingeklemmt, daß seitlich auch nicht der kleinste Zwischenraum bleibt (s. Abb.).

Berechne den Rauminhalt des größten Würfels

Aufgabe 6 - "Verzwickt" (5 Punkte)

Roland möchte ein Fußballturnier veranstalten, an dem acht europäische Mannschaften teilnehmen:
Belgien, Deutschland, Frankreich, Italien, Polen, Rumänien, Schweiz und Ungarn.
Das Turnier dauert sieben Tage. Jeden Tag gibt es vier Spiele, wobei alle acht Mannschaften paarweise aufeinandertreffen.
Im Laufe des Wettkampfs soll jede Mannschaft genau einmal auf jede der anderen sieben Mannschaften treffen.

Erstelle für Roland einen Spielplan dieses Turniers.

Aufgabe 7 - "Verliebt" (10 Punkte)

Ariane, Bacchus, Chloe und Daphne sind vier Schildkröten, welche entsprechend den Anfangsbuchstaben ihrer Namen auf den Eckpunkten eines Quadrats ABCD sitzen. Die Seiten des Quadrats sind 4 m lang.
Ariane fühlt sich zu Bacchus hingezogen, Bacchus zu Chloe, Chloe zu Daphne und Daphne zu Ariane.
Zu Beginn nimmt jedes der Tiere Kurs auf seinen Auserwählten und läuft los, ohne von der eingeschlagenen Richtung abzuweichen. Alle 30 Sekunden. heben die Schildkröten gleichzeitig den Kopf und nehmen eine Kurskorrektur vor. Dann setzen ihren Weg in der neuen Richtung fort. Pro Minute legen sie eine Strecke von 40 cm zurück.

Zeichne auf das Antwortblatt, im Maßstab 1:20, den Weg der verliebten Schildkröten während der ersten neun Minuten.

Aufgabe 8 - "Verschaukelt" (5 Punkte)

Alain und Bernhard schweben gerade im Sessellift nach oben, als die Fahrt wegen einer Panne kurz unterbrochen wird. Endlich oben angekommen, erwähnt Alain, daß sein Sessel mit der Nummer 95 während der Panne dem Sessel mit der Nummer 72 gegenüberstand. Mein Sessel hatte die Nummer 248 und stand bei der Panne dem Sessel mit der Nummer 279 gegenüber, bemerkt Bernhard.
Natürlich haben alle Sessel den gleichen Abstand und sind von 1 an durchnumeriert.

Wie viele Sessel besitzt dieser Lift insgesamt?

Aufgabe 9 - "Verwinkelt" (10 Punkte)

Die Teilung eines beliebigen Winkels in drei gleich große Teile ist allein mit Zirkel und Lineal nicht durchführbar.
Mit dem abgebildeten Gerät aus dem Jahr 1835 läßt sich diese Dreiteilung jedoch bewerkstelligen.
Die Punkte B und C teilen die Strecke AD in drei gleich lange Abschnitte von jeweils 3 cm. Die Strecke BD ist Durchmesser des Halbkreises mit dem Mittelpunkt C. Die Strecke BE ist senkrecht zu AD.

Zeichne auf das Lösungsblatt einen Winkel von 50 mit dem Scheitel 0. Stelle aus Papier das beschriebene Gerät her und klebe es In der richtigen Position auf
Zeige die Gleichheit von Winkel BOA, Winkel COB und Winkel FOC.
Lege A auf einen Schenkel. B geht durch den Scheitel. Verschiebe, bis der Halbkreis den anderen Schenkel berührt.

Aufgabe 10 - "Verzahnt" (15 Punkte)

Die Ablildung zeigt das Nest einer seltenen Reptilienart lacertus planus gregaris, im Volksmund Kuscheltierchen genannt. Die völlig flachen Tiere sind von exakt gleicher Form und Größe. Sie besitzen die bemerkenswerte Fähigkeit, sich lückenlos aneinanderschmiegen zu können, so wie das in der Abbildung zu sehen ist. Das Exemplar, welches gerade seine Augen geöffnet hat, mißt vom Kinn bis zur ausgestreckten Schwanzspitze genau 3 cm. Berechne den Flächeninhalt dieses Kuscheltierchens.

Aufgaben 11 bis 13 nur für Klasse 11

Aufgabe 11 -"Verlegt" (5 Punkte)

Bodenleger Krause soll einen ringförmigen Flur mit einem neuen Bodenbelag versehen. Der Anfrage ist lediglich die abgebildete Skizze beigefügt. Berechne auf den Pfennig genau die Kosten für den neuen Fußboden, wenn der Preis für einen Quadratmeter einschließlich aller Nebenkosten genau 100 DM beträgt.

Aufgabe 12 - "Verfinstert" (10 Punkte)

Aristarch von Samos fand im 3. Jh. v. Chr. durch die Beobachtung einer zentralen Mondfinsternis eine recht gute Abschätzung des Monddurchmessers. Beim Eintritt des Mondes in den Erdschatten stellte er fest, daß der Mond in einer Stunde eine Strecke zurücklegt, welche dem Monddurchmesser entspricht (siehe Abbildung, Positionen 0 bis 1). Er durchquert danach den Erdschatten in etwa zwei Stunden (Positionen 1 bis 3). Aristarch schloß daraus, daß der Monddurchmesser ungefähr ein Drittel des Erddurchmessers beträgt. Gehe davon aus, daß der Mond, bei konstanter Geschwindigkeit die Erde In 27 Tagen einmal auf einer Kreisbahn umrundet Bestimme daraus und aus der Beobachtung Aristarchs den Abstand von Erde und Mond als Vielfaches des Erddurchmessers.

Aufgabe 13 - "Verdreht" (15 Punkte)

Ein Quadrat soll längs zweier Geraden so zerschnitten werden, daß vier Teilstücke entstehen. Die beiden Geraden gehen durch den Mittelpunkt des Quadrats und sind zueinander senkrecht. Die so erhaltenen Teile lassen 1 sich zu einem neuen, größeren Quadrat zusammensetzen. In der Mitte bleibt dabei ein quadratisches Loch frei.

Zerlege ein Quadrat mit der Seitenlänge 12 cm so, daß der Flächeninhalt des großen Quadrats zehnmal so groß ist wie der Flächeninhalt des kleinen Quadrats In der Mitte. Klebe die Anordnung auf das Antwortblatt.

Haupttermin 1995/96

Aufgabe 1 - "Tag und Nacht" (10 Punkte)

Diese Aufgabe ist hier nur in Englisch wiedergegeben. On the 15th and 16th of August 1995, the superjet Concorde achieved a complete revolution of the Earth in 31 hours and 27 minutes. Surprisingly its passengers claim that they attended 2 sunsets and 2 sunrises during the flight.

Explain this phenomenon.
To make things essier, let´s admit that the plane took off at 11 a.m. (local time) and travelled at a constant speed above the equator before coming back to its departure place 30 hours later.

Aufgabe 2 - "Dufte Knolle" (5 Punkte)

Amadeus, der Hobbykoch, verbraucht im Jahr dreißig Knollen Knoblauch.
Eine Knolle besteht aus sechs Zehen. Wenn er im Frühling eine Zehe in seinem Garten auspflanzt entsteht daraus bis zum Herbst eine neue Knolle.

Wie viele Zehen muß Amadeus auspflanzen, damit er genügend Knollen für seinen Jahresbedarf und die Pflanzung im darauffolgenden Jahr ernten kann?

Aufgabe 3 - "Dachgaube" (10 Punkte)

Die Abbildung zeigt das Schrägbild einer Dachgaube, die auf ein Satteldach aufgesetzt ist. Ihre Frontseite wird aus einem Quadrat und einem gleichschenkligen Dreieck gebildet.

Zeichne im Maßstab 1:20 ein Netz dieser Dachgaube (ohne das Satteldach).
Schneide das Netz aus und klebe es auf das Antwortblatt

Aufgabe 4 - "Eckball" (5 Punkte)

Ein Fußball wird aus 32 Lederstücken hergestellt. Diese haben die Form von regelmäßigen Fünfecken und Sechsecken. Man erhält also keine Kugel, sondern ein Polyeder.

Wie viele Kanten besitzt dieses Polyeder?

Aufgabe 5 - "Tafelrunde" (10 Punkte)

König Artus hatte die Ritter der Tafelrunde um sich versammelt Als alle Ritter ihren Platz eingenommen hatten, ließ Artus den Wein bringen. Einige Kelche waren mit rotem, die anderen mit weißem Wein gefällt.
Nachdem der König und alle Ritter einen Kelch erhalten hatten, erhob er sich und sprach:
"Meine Freunde, edle Ritter. In wenigen Augenblicken wird es Mitternacht sein. Um den Bund zu festigen, der unser Land stark macht, reiche jeder seinen Kelch an einen seiner Nachbarn weiter:
Ist der Wein rot, so gebe er ihn dem Nachbarn zur Rechten, ist er weiß, dem Nachbarn zur Linken."

"Verzeiht, mein König", erwiderte Lanzelot, dies wird uns nicht einen, sondern entzweien, denn zumindest einer unter uns wird keinen Kelch erhalten.'

Hat Lanzelot recht wenn man annimmt daß Insgesamt dreizehn Personen an der Tafel versammelt waren, wie es die Abbildung nahelegt ?
Begründe die Antwort

Aufgabe 6 - "Gut plaziert" (5 Punkte)

Zeichne auf das Antwortblatt zwei Kreise, bei denen der Abstand der Mittelpunkte größer Ist als die Summe der beiden Radien.
A ußerhalb der beiden Kreise soll ein Punkt P so markiert werden, daß jede Gerade durch P mindestens einen der Kreise schneidet
Zeichne drei weitere Punkte 0, R und S ein, welche ebenfalls diese Eigenschaft besitzen.

Aufgabe 7 - "Jakobsstab" (10 Punkte)

Der Jakobsstab ist ein Gerät, weiches früher benutzt wurde, um Winkel im Gelände zu messen.
Es besteht aus einem Stab mit einer Gradeinteilung und einer beweglichen Querlatte, weiche mit dem Stab einen rechten Winkel bildet.
Um den Winkel P'ON' zu messen, wird die Querlatte so eingestellt, daß die Punkte 0, N, N’ und die Punkte 0, P, P´ jeweils auf einer Geraden liegen (siehe Abbildung). Auf der Gradeinteilung des Stabes läßt sich die Größe des Winkels im Mittelpunkt M der Querlatte ablesen.

Zeichne den Stab mit einer Gradeinteilung von 30 bis 80 , wobei das Intervall zwischen zwei Markierungen jeweils 5 beträgt. Die Strecke NP soll 10 cm lang sein.

Aufgabe 8 - "Zaubertrank" (5 Punkte)

Zur Herstellung eines Zaubertranks benötigt man einen Kessel, Quellwasser und die folgenden Zutaten:
Zwei Fliegenpilze, sechs Steinpilze, vier Seidenraupen, fünf ägyptische Datteln und drei Mistelzweige, welche mit einer goldenen Sichel geschnitten wurden.
Man fällt den Kessel mit Wasser und läßt die Zutaten darin ziehen, wobei folgende Regeln zu beachten sind:

Die Steinpilze müssen mindestens 7 Tage ziehen.
Die Datteln müssen mindestens 5 Tage ziehen.
Die Mistelzweige müssen mindestens 12 Tage ziehen.
Bevor man die Datteln ziehen läßt, müssen die Raupen mindestens 8 Tage gezogen haben.
Die Fliegenpilze müssen mindestens 4 Tage gezogen haben, ehe man die Steinpilze ziehen läßt.
Es können sich gleichzeitig mehrere Zutaten im Kessel befinden.

Erkläre, wie der Druide vorgehen muß, um den Zaubertrank In möglichst kurzer Zeit herzustellen.

Aufgabe 9 - "Anamorphose" - 10 Punkte

Unter einer Anamorphose versteht man die Verzerrung eines Gegenstandes durch eine geometrische Abbildung.
Um die Anamorphose einer Strecke AB bezüglich eines Kreises mit dem Mittelpunkt 0 zu erhalten, muß man folgendermaßen vorgehen:
Sei P ein Punkt von AB. Die Halbgerade von 0 durch P schneidet den Kreis im Punkt 1. Konstruiere Q so, daß P und Q symmetrisch bezüglich 1 sind.
Durchläuft der Punkt P die Strecke AB, so durchläuft der Punkt Q die Anamorphose von AB.

Konstruiere diese Anamorphose punktweise auf das Antwortblatt. Beachte dabei die folgende Anordnung:

Die Strecke AB Ist parallel zum rechten Blattrand und von diesem 9 cm entfernt.
Der Radius des Kreises beträgt 6 cm, der Abstand von 0 zur Strecke AB beträgt 4,5 cm.
Die Punkte A und B sind von 0 jeweils 15 cm entfernt

Aufgabe 10 - "Knapp vorbei?" (15 Punkte)

Paul hat sein Moped vor der offenen Garage seines Vaters abgestellt. Das Vorderrad, welches einen Durchmesser von 64 cm besitzt, ist 80 cm von der Toröffnung entfernt.
Wie auf der Abbildung zu sehen ist, gleitet der Punkt B beim Schließen des Tores auf einer horizontalen Schiene. Der Punkt D ist durch eine Stange mit dem festen Punkt A verbunden und bewegt sich beim Schließen von C nach E.
Am Abend, vor dem Schlafengehen, schließt Pauls Vater das Tor von innen. Da das Garagenlicht nicht funktioniert, übersieht er das Moped.

Läßt sich das Tor schließen, ohne das Moped zu berühren? Bestätige die Antwort durch eine Rechnung

Aufgaben 11 bis 13 nur für Klasse 11

Aufgabe 11 - "Scala 40" (5 Punkte)

Scala 40 ist ein italienisches Kartenspiel, das von zwei, drei, vier oder fünf Spielern gespielt werden kann.
Flavio und seine vier Freunde spielen es sehr gerne. In den Ferien treffen sich jeden Abend mindestens zwei von ihnen zu einem Spiel.
Am letzten Ferientag stellen die Freunde fest, daß die Zusammensetzung der Spieler an jedem der vorausgegangenen Tage verschieden war.
Als guter Mathematiker wußte Flavio natürlich schon im Voraus, daß sich eine dieser Zusammensetzungen am letzten Tag wiederholen würde.

Wie viele Tage haben die Ferien gedauert?

Aufgabe 12 - "Eurostrom" (10 Punkte)

Die elektrische Energieversorgung der europäischen Staaten ist durch ein Verbundsystem gekoppelt. Dadurch ist es möglich, daß benachbarte Länder untereinander elektrische Energie austauschen, welche schwer gespeichert, aber gut transportiert werden kann.
Die vier Schaubilder geben für vier Länder Auskunft über die Produktionskosten in verschiedenen Tagesabschnitten. Diese Kosten hängen unter anderem davon ab, ob die Energie von einem Wasserkraftwerk, einern Heiz- oder einem Kemkraftwerk geliefert wird.
Nimm an, daß der Verkautspreis der Energie bei allen vier Ländern um 20% höher ist als die Produktionskosten.
Jedes Land kann bei seinem Nachbarn Energie kaufen, wenn die eigenen Produktionskosten höher sind als der Verkaufspreis des Nachbarlandes.

Erstelle für jeden Tagesabschnift ein Diagramm nach obenstehendem Muster und kennzeichne alle möglichen Verkäufe dieses Abschnitts durch Pfeile.

Aufgabe 13 - "Auslaufmodell" (15 Punkte)

Ein deckelloser, würfefförmiger Behälter ist bis zum Rand mit 1 Liter Flüssigkeit gefüllt. Man kippt das Gefäß vorsichtig über eine seiner Kanten, bis es die auf der Abbildung dargestellte Position erreicht hat. Dadurch fließt ein Teil der Flüssigkeit heraus.

Berechne die Flüssigkeitsmenge, welche im Behälter zurückbleibt.

Oberschulamt Karlsruhe - Fachbereich Mathematik