Mathematik ohne Grenzen 1996/97

Oberschulamt Karlsruhe - Fachbereich Mathematik

Mathematik ohne Grenzen 1996/97

Zu den Regeln des Wettbewerbs "Mathematik ohne Grenzen"

Zu den Aufgaben des Haupttermins 1996/97

Probetermin 1996/97

Für jede Aufgabe ist ein gesondertes Lösungsblatt zu verwenden.
Bei Aufgabe 6, 8, 9 und 11 ist keine Erklärung verlangt, sonst muß die Lösung begründet werden.
Die Darstellung wird in die Bewertung einbezogen. Auch Teillösungen werden berücksichtigt.

Aufgabe 1 - "Lügendetektor" (10 Punkte)

On planet MB 52 there are only two tribes: one tribe that is always telling the truth and one tribe who is always lying.
A space traveller is looking for a guide among those who are always telling the truth in order to visit the MB 52.
He asks the first inhabitant he meets: "Which tribe do you belong to?"
Of course the man answers: "I am always telling the truth."
In doubt the traveller sends him to ask another native which tribe he beiongs to.
The first inhabitant comes back and tells the traveller:
"He told me he is always saying the truth."

Can the traveller take the first inhabitant met on planet MB 52 as a guide or not?
Explain your answer.

Aufgabe 2 - "In etwa" (5 Punkte)

Baron Münchhausen hatte beschlossen, den Fußboden im Festsaal seines Schlosses neu belegen zu lassen.- Er entschied sich für das abgebildete Verlegemuster. Es besteht aus regelmäßigen Sechsecken, welche von Quadraten berandet sind. Dazwischen befindet sich jeweils ein gleichseitiges Dreieck.
Der Baron wies seinen Verwalter an, 1200 Sechsecke zu bestellen und überließ es ihm, die Anzahl der Dreiecke und der Quadrate abzuschätzen, weiche für die Ausführung des Musters notwendig waren.

Gib einen Näherungswert für die Anzahl der Quadrate und die Anzahl derDreiecke an.
Begründe die Antwort.

Aufgabe 3 - "Öko-logisch" (10 Punkte)

Monsieur Lavendure will seine Gartenabfälle nicht langer wegwerfen oder verbrennen. Aus einem rechteckigen Gitter mit einem Flächeninhalt von 2,70 m² baut er einen Kompostbehälter.
Dazu heftet er zwei gegenüberliegende Seiten an einigen Stellen zusammen. So erhält er einen zylindrischen Behälter, dessen Höhe der Länge einer Rechteckseite entspricht.
Seine Nachbarin macht ihn darauf aufmerksam, daß er beim Verbinden der beiden anderen Rechteckseiten zwar einen niedrigeren Behälter, aber ein größeres Fassungsvermögen erhält.
Monsieur Lavendure ist zunächst etwas skeptisch. Dann nimmt er Maß und rechnet ein wenig.
Er baut seine alte Konstruktion auseinander und stellt mit Zufriedenheit fest, daß das Volumen seines neuen Zylinders um 20% größer ist, als das des alten.

Wie groß ist das neue Volumen?

Aufgabe 4 - "Sumer summarum" (5 Punkte)

Die Abbildung zeigt dieVorder- und die Rückseite einer sumerischen Tontafel. Wie es vor 5000 Jahren üblich war, hat der Schreiber mit seiner Schilfrohrspitze die Einzelheiten eines Verkaufs auf dem noch weichen Ton eingraviert.
Auf der Vorderseite gibt jeder Abschnitt die Menge und die Art der Ware an.
Von oben nach unten ist die Anzahl der Säcke mit mit Gerste, mit Weizen, mit Bohnen und mit Linsen, sowie eine gewisse Anzahl von Hühnem verzeichnet.
Jede Mengeneinheit wurde durch eine feine Kerbe ausgedrückt., zehn Einheiten durch einen kreisförmigen Abdruck und eine unbekannte Anzahl von Einheiten durch eine dicke Kerbe.
Auf der Rückseite befindet sich eine Zusammenfassung: Der erste Abschnitt gibt die Gesamtzahl der Säcke wieder, während im zweiten Abschnitt die Anzahl der Hühner wiederholt wird. Es folgen die Signaturen des Käufers und des Verkäufers.

Wieviele Einheiten werden durch eine dicke Kerbe dargestellt?

Aufgabe 5 - "Extra dry" (10 Punkte)

Nolli möchte 3 kg Obst trocknen. Der Wassergehalt der frischen Früchte beträgt 99 % der Gesamtmasse.
Nach einer gewissen Trockenzeit beträgt der Wassergehalt nur noch 98% der neuen Masse.

Wieviel wiegen die Früchte jetzt?
Begründe die Antwort.

Aufgabe 6 - "Rätselhaft" (5 Punkte)

Die Sphinx S1^{wurde aus sechs
gleichzeitigen Dreiecken gebildet. Wie in der Abbildung zu sehen
ist, läßt sich aus vier dieser Sphinxen, die zum Teil gewendet
werden, die Sphinx S}2^{zusammensetzen (siehe Abb.).}

^{Konstruiere auf dem Antwortblatt die
Sphinx S}3^{, welche aus neun Sphinxen S}1^{gebildet wird.}

^{Aufgabe 7 - "Börsenjojo" (10
Punkte)}

^{An der Börse weiß man oft nicht, was
einen am Ende des Tunnels erwartet. So zeigen zum Beispiel die
Aktien der Gilberti AG ein recht eigentümliches Verhalten:}

^{Wenn der Kurs gestern gestiegen ist, so fällt er
heute um 10% des gestrigen Endwertes.}
^{Ist der Kurs dagegen gestern gefallen, so steigt er
heute um 10% seines gestrigen Endwertes.}

^{Wie verhält
sich der Kurs der Gilbertaktien im Vergleich zu seinem
Anfangswert nach einer Laufzeit von mehr als Börsentagen?

Nimmt er zu, nimmt er ab oder bleibt er gleich? Erläutere die
Antwort.}

^{Aufgabe 8 - "Schwarzweiß" (5
Punkte)}

^{Bei einem Spiel wird ein quadratisches
Gitter mit schwarzen und weißen Steinen belegt, wobei auf jedes
Feld genau ein Stein zu liegen kommt Am Ende des Spiels ist das
Gitter mit gleichviel schwarzen und weißen Steinen belegt.

Paul hat vor jeder Zeile und unter jeder Spalte die Anzahl der
schwarzen Steine notiert.}

^{Zeichne das Gitter auf das Lösungsblatt
und vervollständige die abgebildete Anordnung mit der richtigen
Anzahl schwarzer und weißer Steine.}

^{Aufgabe 9 - "Wischiwaschi" (10
Punkte)}

^{Seit er Bus fahrt, hat sich der Fahrer über
seinen Scheibenwischer nie den Kopf zerbrochen. Doch heute abend,
im Gegenlicht der Scheinwerfer, wird er plötzlich neugierig: Was
ist das eigentlich für eine Fläche, die beim Betrieb des
Wischers vom Wischerblatt überstrichen wird?

Der Wischerarm ist ein Parallelogramm ABCD mit den festen
Drehpunkten A und D.

Das Wischerblatt EF ist stets rechtwinklig zu CB. Sein
Befestgungspunkt M halbiert sowohl BC als auch EF.

Der Winkel, welchen der Wischerarm mit der waagerechten
Fensterkante bildet, variiert zwischen 30° und 150° .

Es ist BC = 10 cm, CD = 85 cm und EF- = 80 cm.

Die Scheibe ist eben.}

^{Konstruiere die vom Wischerblatt überstrichene
FIäche im Maßstab 1:10 und färbe sie ein.}

^{Aufgabe 10 - "Musterlösung" (15
Punkte)}

^{In seinem Schloß möchte Baron Münchhausen
einen 2 m breiten Gang mit Platten belegen. Er denkt dabei an
rechteckige Steinplatten von 1 m Breite und 2 m Länge.

Das Unternehmen Leonardo unterbreitet ihm seinen Katalog
Fibonacci, in welchem alle möglichen Pflasterungen von 2m
breiten Rechtecken verzeichnet sind.}^{Auf Seite 1
des Katalogs sieht man eine Möglichkeit für ein Rechteck des
Formats 2x1 und die beiden Möglichkeiten für die Maße 2x2. Die
drei möglichen Muster für das Format 2x3 findet man auf Seite 2.

Der Baron hat einen Weg gefunden, wie man bei vorgegebener Länge
die Anzahl der möglichen Muster berechnen kann, ohne alle
Zeichnungen machen zu müssen.}

^{Erkläre die Rechenmethode des Barons und
wende sie auf 2 m breite Gänge der Länge 4m, 5m und 6m an.}

^{Aufgaben 11 bis 13 nur für Klasse 11}

^{Aufgabe 11 - "Kabinettstück" (5
Punkte)}

^{Als König Artus einen neuen Kammerherrn
bestimmen wollte, rief er seine Ritter in die Schatzkammer.

"Seht dieses Schmuckstück aus elf aneinandergeschmiedeten
Goldtalern. Jeder Taler trägt eine andere Zahl. Fertigt eine
Kopie dieses Schmuckstücks an, aber verändert die Reihenfolge
der Taler. Auf weiche Weise man auch immer die Kopie mit dem
Original zur Deckung bringen mag, selbst mit der Rückseite nach
oben, stets soll zumindest an einer Stelle die Zahl auf der Kopie
mit der Zahl auf der darunterliegenden Originalmünze übereinstimmen.

Der erste, dem es gelingt, diese Aufgabe zu lösen, der soll mein
Kammerherr sein."}

^{Gib In einer Zeichnung eine Lösung an,
weiche es einem der Ritter ermöglicht, des Königs Kammerherr zu
werden.}

^{Aufgabe 12 - "EU-Norm" (10
Punkte)}

^{Die
Abmessungen der Europafahne sind mathemaisch wie folgt festgelegt:

Das Emblem ist ein blaues Rechteck, dessen Längsseite a das
Eineinhalbfache der Breite b beträgt.

Die Mittelpunkte der zwölf Sterne liegen in gleichem Abstand auf
einem Kreis K, dessen Zentrum 0 im Schnittpunkt der
Rechtecksdiagonalen liegt. Sein Radius ist 1/3 der Seite b.

K}1^{und K}2^{sind die Umkreise zweier
benachbarter Sterne, welche den Kreis K jeweils in zwei Punkten
schneiden.

Ihr Radius beträgt 1/18 der Seite b.

Mit M bezeichnet man den Schnittpunkt von K}1^{mit K,
welcher K}2^{am nächsten liegt. N ist der Schnittpunkt
von K}2^{mit K, welcher K}1^{am nächsten liegt}

^{Berechne Winkel MON auf 0,1° genau.}

^{Aufgabe 13 - "Is´ er fix ?" (15
Punkte)}

^{Asterix wird in seinem Verlies langsam
unruhig.

"Wo Obelix nur bleibt? In einer Viertelstunde wird mich der
Centurio den Löwen zum Frühstück servieren. Wenn ich doch nur
meinen Zaubertrank hätte!"

Genau in diesem Augenblick bemerkt Asterix in der Ferne ein
winziges Etwas. Es ist Obelix, der sich auf das römische Lager
zubewegt.

Asterix hat gute Augen. Auf 5m Abstand erkennt er noch ein Detail
das nur 1,5 mm groß ist.}

^{Wird Obelix seinem Freund Asterix noch
rechtzeitig zu Hilfe kommen?

Begründe die Antwort.}

^{Haupttermin 1996/97}

^{Bei den Aufgaben 2,3,4,6,7 und 8 ist keine
Erklärung verlangt. Bei den anderen Aufgaben muß die Lösung
begründet werden.

Die Sorgfalt der Darstellung wird in die Bewertung einbezogen.

Für jede Aufgabe ist ein gesondertes Lösungsblatt zu verwenden}^.

^{Aufgabe 1 - "Chancengleichheit ?"
(10 Punkte)}

^{Bearbeite diese Aufgabe in Französisch,
Englisch, Italienisch oder Spanisch (hier ist nur die englische
Fassung wiedergegeben).}

^{Peter put six cards down on the table. All
of them have an identical back and on the other side they
respectively show +1,+2,+3, -1, -2, -3.}

^{Then Peter suggests his friend Paul the
following game: They both simultaneously turn up one card. If the
product of the two numbers is positive, Paul wins. If the product
is negative Peter is the winner.}

^{After a few games, Paul notices, that
Peter is winning more often. So, in order to increase his chances
of success, he proposes Peter to take off one card with a
negative number and to start the game again with the five cards
left.}

^{Is Paul right ? Justify your answer.}

^{Aufgabe 2 - "Überwacht" (5
Punkte)}

^{Der abgebildete Plan zeigt den
Ausstellungsraurn einer Gemäldegalerie. Zum Aufhängen der
Bilder stehen 18 Wände zur Verfügung. Die Innenseite der
schraffierten Bereiche kann nicht genutzt werden, wohl aber die
Außenfläche.}

^{Man verfügt über vier Überwachungskameras,
welche jeweils an der Wand angebracht werden. Dabei sollen alle Wände
überwacht werden. Außerdem soll jede Kamera durch mindestens
eine der drei anderen beobachtbar sein.}

^{Das Blickfeld einer Kamera entspricht auf
dem Plan einem Winkel von maximal 135°, dessen Scheitel auf
einer der Wände liegt. Drei der Kameras wurden in den Punkten A,
B und C angebracht.}

^{Zeichne den Plan des Ausstellungsraums im
Maßstab 1:100 und bestimme die Position D der vierten Kamera.}

^{Zeichne die Beobachtungsbereiche alter
vier Kameras ein und schraffiere sie mit verschiedenen Farben.}

^{Aufgabe 3 - "Zauberrahmen" (10
Punkte)}

^{Claudia und Laetitia setzen aus vier
Holzleisten einen Rahmen zusammen. Die Längsseiten der vier
Leisten sind mit den Zahlen von 1 bis 16 nummeriert.}

^{"Schau, das ist ein Zauberrahmen",
sagt Claudia. "Die Summe der vier Zahlen auf jeder der
Leisten ist immer 34."}

^{Laatitia
nimmt den Rahmen und legt ihn so vor sich hin, wie es auf der
Abbildung zu sehen ist.}

^{"Es kommt noch besser, meint sie nach
einer Weile". "Wenn du die vier Zahlen auf der
Oberseite oder die vier Zahlen auf der Unterseite addierst, erhältst
du ebenfälls 34. Das gleiche gilt für die vier Zahlen der
inneren und für die vier Zahlen der äußeren Seitenflächen.
Immer ergibt sich als Summe 34."}

^{Zeichne das abgebildete Netz auf das
Antwortblatt und ergänze die fehlenden Zahlen.}

^{Aufgabe 4 - "Philatelistisch" (5
Punkte)}

^{Gérard besitzt Briefmarken, auf welchen
die Werte 1 Franc, 2 Francs, 3 Francs, 4 Francs und 5 Francs
aufgedruckt sind. Sechzehn dieser Marken hat er in einem
quadratischen Gitter mit 4 x 4 Feldem so angeordnet, dass in
keiner Zeile, in keiner Spalte, in keiner Diagonalen und auch in
keiner Parallelen zu den Diagonalen zwei Marken von gleichem Wert
zu finden sind. Der Gesamtwert der sechzehn Marken beträgt nicht
mehr als 50 Francs.}

^{Zeichne ein solches Gitter und trage eine
mögliche Anordnung der sechzehn Marken ein.}

^{Aufgabe 5 - "Einfältig" (10
Punkte)}

^{Die genauen Maße eines rechteckigen
Blattes Papier betragen 21 cm und 21*Wurzel(2) cm. Das Blatt wird
ein Mal so gefaltet, dass zwei gegenüberliegende Ecken genau
aufeinander kommen. Durch diese Faltung erhält man das Fünfeck
ADFEB (siehe Abb.).}

^{Berechne den genauen Flächeninhalt dieses
Fünfecks.}

^{Aufgabe 6 - "Laszlo´s cube" (5
Punkte)}

^{Die Seitenflächen eines Würfels wurden
jeweils in vier gleich große Quadrate zerlegt.}

^{Mit Hiffe von drei verschiedenen Farben
sollen die 24 Quadrate so eingefärbt werden, dass keine zwei
Quadrate mit gemeinsamer Seite die gleiche Farbe besitzen.}

^{Klebe das Netz eines so gefärbten Würfels
auf das Antwortblatt.}

^{Aufgabe 7 - "Auf Wickel" (10
Punkte)}

^{Rantamplan, der Hofhund,
liegt ausgestreckt in der Sonne und beobachtet die Küchentür.
Mit seiner Leine ist er an der runden Einfassung des Ziehbrunnens
festgemacht.}

^{Als sich plötzlich Kater Tom über die
Schwelle wagt, beginnt eine wilde Verfolgungsjagd. Tom immer der
Mauer entlang, Rantamplan hinterher, wobei sich die gespannte
Leine immer mehr um die Brunneneinfassung wickelt.}

^{Der Hof, in dem sich die Jagd abspielt,
ist quadratisch mit einer Seitenlänge von 20 m. Der Brunnen
liegt genau in der Mitte und hat einen Außendurchmesser von 1,20
m. Die Leine ist 8 m lang und nicht elastisch.}

^{Konstruiere im Maßstab 1:100 die Kurve,
welche das bewegliche Ende der Hundeleine während der
Verfolgungsjagd beschreibt.}

^{Aufgabe 8 - "Nagelbrett" (5
Punkte)}

^{Die Abbildung zeigt ein quadratisches
Nagelbrett von 20 cm Seitenlänge. Die Nägel bilden ein
quadratisches Gitter mit dem Gitterabstand 1 cm.}

^{Um acht Nägel als Eckpunkte soll eine
Schnur so gespannt worden, dass ein möglichst regelmäßiges
Achteck entsteht.}

^{Die Winkel dieses Achtecks sollen alle
gleich sein und vier seiner Seiten sollen parallel zu den Kanten
des Brettes verlaufen. Außerdem soll das Verhältnis zweier
benachbarter Seiten möglichst nahe bei 1 liegen.}

^{Markiere die Punkte des Gitters auf dem
Antwortblatt und zeichne farbig das gesuchte Achteck ein}

^{Aufgabe 9 - "Je pense" (10
Punkte)}

^{In seinem Buch 'Die Geometrie' beschreibt
René Descartes (1596 - 1650) ein Verfahren, mit welchem sich
allein mit Zirkel und Lineal das Produkt zweier Längen
konstruieren läßt:}

^{"Sei zum Beispiel AB die Einheit und
soll BD mit BC multipliziert werden, so verbinde man A mit C und
zeichne DE parallel zu AC. Sodann ist BE das Produkt dieser
Multiplikation."}

^{1. Begründe das Verfahren von Descartes.}

^{2. Bezüglich einer vorher gewählten Längeneinheit
AB ist die Länge der abgebildeten Strecken x und y.}

^{Lasse dich von Descartes Methode
inspirieren und konstruiere eine Strecke der Länge y/x.}

^{Aufgabe 10 - "Auf dem Kopf" (15
Punkte)}

^{Nach einem feuchtfröhlichen Mahl muß der
arme Kapitän Haddock eine gehörige Strafpredigt über sich
ergehenlassen.}

^{"Das geht wirklich zu weit!",
schimpft Tim. Gestern war die Whiskyflasche noch voll und nun
steht die Flüssigkeit nur noch 14 cm hoch."}

^{"Hunderttausend heulende und jaulende
Höllenhunde!", kontert der Kapitän, nachdem er die Flasche
auf den Kopf gestellt hat. "Nach meiner Messung befindet
sich der Flüssigkeitsspiegel genau 19 cm über dem Korken!"}

^{Vom Boden bis zum unteren Ende des Korkens
faßt die Flasche 0,76 Liter. Berechne, wieviel ml Whisky sich
noch in der Flasche befinden.}

^{Aufgaben 11 bis 13 nur für Klasse 11}

^{Aufgabe 11 - "Zu früh" (5
Punkte)}

^{Jeden Abend steigt Madame Dupont ins Auto,
um ihren Mann vom Bahnhof abzuholen. Sie fährt stets zur
gleichen Zeit los, fährt immer mit derselben Geschwindigkeit und
ändert auch nie ihre Route. Sie kommt dann immer um 18.30 Uhr
an, genau zu der Zeit, wenn ihr Mann den Bahnhof verläßt.
Danach fahren die beiden sofort nach Hause, immer denselben Weg,
immer mit derselben Geschwindigkeit.}

^{Eines Tages jedoch nimmt Monsieur Dupont
einen anderen Zug und verläßt den Bahnhof bereits um 18.10 Uhr.}

^{Da seine Frau noch nicht da ist, geht er
ihr zu Fuß entgegen. Sie treffen sich unterwegs und sind 10
Minuten ftüher als gewöhnlich zu Hause.}

^{Wie lange war Monsieur Dupont zu Fuß
unterwegs?}

^{Aufgabe 12 - "Durchschnittlich"
(10 Punkte)}

^{In Nord- und Südpentagonion nehmen mehr
als 1000 Klassen der Jahrgangsstufen 10 und 11 am Wettbewerb
"Mathematik ohne Grenzen" teil.}

^{Im Abschlußbericht wird erwähnt, dass
eine der Aufgaben zu 10 Punkten in jedem der beiden Landesteile
von der Jahrgangsstufe 10 besser als von der Jahrgangsstufe 11
gelöst wurde. Erstaunlicherweise erzielte jedoch die
Jahrgangsstufe 11, bezogen auf ganz Pentagonien, bei dieser
Aufgabe einen besseren Durchschnitt als die Jahrgangsstufe 10.}

^{Zeige an einem Beispiel, daß dies tatsächlich
möglich ist}

^{Aufgabe 13 - "Esoterisch" (15
Punkte)}

^{Unglücklicherweise ist die Kristallkugel
von Frau Luna zu Bruch gegangen. Damit sie wieder in die Zukunft
blicken kann benötigt sie eine Kugel mit gleichem Radius. Als
sie die Bruchstücke vor Professor Bienlein ausbreitet, holt
dieser ein Sphärometer aus dem Schrank.}

^{Es handelt sich dabei um ein Gerät, mit
dessen Hilfe der Radius einer Kugel berechnet worden kann - Der
untere Teil besteht aus drei Beinen, deren Endpunkte ein
gleichseitiges Dreieck von 9 cm Seitenlänge bilden. Der
bewegliche Stab in der Mitte liegt auf einer Geraden, die durch
den Schwerpunkt des Dreiecks verläuft und senkrecht auf der
Dreiecksfläche steht.}

^{Nachdem Professor Blenlein das Gerät so
eingestellt hat, dass sowohl die drei Beine als auch der Stab in
der Mitte die Kugeloberfläche berühren, liest er an der Skala
ab, dass das untere Ende des Stabes einen Abstand von 2 cm zur
Dreiecksfläche hat.}

^{Berechne den Radius der Kristallkugel und
sage die Zukunft voraus.}

Oberschulamt Karlsruhe - Fachbereich Mathematik