Oberschulamt Karlsruhe - Fachbereich Mathematik

Mathematik ohne Grenzen 1996/97

Zu den Regeln des Wettbewerbs "Mathematik ohne Grenzen"

Zu den Aufgaben des Haupttermins 1996/97

Probetermin 1996/97

Für jede Aufgabe ist ein gesondertes Lösungsblatt zu verwenden.
Bei Aufgabe 6, 8, 9 und 11 ist keine Erklärung verlangt, sonst muß die Lösung begründet werden.
Die Darstellung wird in die Bewertung einbezogen. Auch Teillösungen werden berücksichtigt.

Aufgabe 1 - "Lügendetektor" (10 Punkte)

On planet MB 52 there are only two tribes: one tribe that is always telling the truth and one tribe who is always lying.
A space traveller is looking for a guide among those who are always telling the truth in order to visit the MB 52.
He asks the first inhabitant he meets: "Which tribe do you belong to?"
Of course the man answers: "I am always telling the truth."
In doubt the traveller sends him to ask another native which tribe he beiongs to.
The first inhabitant comes back and tells the traveller:
"He told me he is always saying the truth."

Can the traveller take the first inhabitant met on planet MB 52 as a guide or not?
Explain your answer.

Aufgabe 2 - "In etwa" (5 Punkte)

Baron Münchhausen hatte beschlossen, den Fußboden im Festsaal seines Schlosses neu belegen zu lassen.- Er entschied sich für das abgebildete Verlegemuster. Es besteht aus regelmäßigen Sechsecken, welche von Quadraten berandet sind. Dazwischen befindet sich jeweils ein gleichseitiges Dreieck.
Der Baron wies seinen Verwalter an, 1200 Sechsecke zu bestellen und überließ es ihm, die Anzahl der Dreiecke und der Quadrate abzuschätzen, weiche für die Ausführung des Musters notwendig waren.

Gib einen Näherungswert für die Anzahl der Quadrate und die Anzahl derDreiecke an.
Begründe die Antwort.

Aufgabe 3 - "Öko-logisch" (10 Punkte)

Monsieur Lavendure will seine Gartenabfälle nicht langer wegwerfen oder verbrennen. Aus einem rechteckigen Gitter mit einem Flächeninhalt von 2,70 m2 baut er einen Kompostbehälter.
Dazu heftet er zwei gegenüberliegende Seiten an einigen Stellen zusammen. So erhält er einen zylindrischen Behälter, dessen Höhe der Länge einer Rechteckseite entspricht.
Seine Nachbarin macht ihn darauf aufmerksam, daß er beim Verbinden der beiden anderen Rechteckseiten zwar einen niedrigeren Behälter, aber ein größeres Fassungsvermögen erhält.
Monsieur Lavendure ist zunächst etwas skeptisch. Dann nimmt er Maß und rechnet ein wenig.
Er baut seine alte Konstruktion auseinander und stellt mit Zufriedenheit fest, daß das Volumen seines neuen Zylinders um 20% größer ist, als das des alten.

Wie groß ist das neue Volumen?

Aufgabe 4 - "Sumer summarum" (5 Punkte)

Die Abbildung zeigt dieVorder- und die Rückseite einer sumerischen Tontafel. Wie es vor 5000 Jahren üblich war, hat der Schreiber mit seiner Schilfrohrspitze die Einzelheiten eines Verkaufs auf dem noch weichen Ton eingraviert.
Auf der Vorderseite gibt jeder Abschnitt die Menge und die Art der Ware an.
Von oben nach unten ist die Anzahl der Säcke mit mit Gerste, mit Weizen, mit Bohnen und mit Linsen, sowie eine gewisse Anzahl von Hühnem verzeichnet.
Jede Mengeneinheit wurde durch eine feine Kerbe ausgedrückt., zehn Einheiten durch einen kreisförmigen Abdruck und eine unbekannte Anzahl von Einheiten durch eine dicke Kerbe.
Auf der Rückseite befindet sich eine Zusammenfassung: Der erste Abschnitt gibt die Gesamtzahl der Säcke wieder, während im zweiten Abschnitt die Anzahl der Hühner wiederholt wird. Es folgen die Signaturen des Käufers und des Verkäufers.

Wieviele Einheiten werden durch eine dicke Kerbe dargestellt?

Aufgabe 5 - "Extra dry" (10 Punkte)

Nolli möchte 3 kg Obst trocknen. Der Wassergehalt der frischen Früchte beträgt 99 % der Gesamtmasse.
Nach einer gewissen Trockenzeit beträgt der Wassergehalt nur noch 98% der neuen Masse.

Wieviel wiegen die Früchte jetzt?
Begründe die Antwort.

Aufgabe 6 - "Rätselhaft" (5 Punkte)

Die Sphinx S1 wurde aus sechs gleichzeitigen Dreiecken gebildet. Wie in der Abbildung zu sehen ist, läßt sich aus vier dieser Sphinxen, die zum Teil gewendet werden, die Sphinx S2 zusammensetzen (siehe Abb.).

Konstruiere auf dem Antwortblatt die Sphinx S3, welche aus neun Sphinxen S1 gebildet wird.

Aufgabe 7 - "Börsenjojo" (10 Punkte)

An der Börse weiß man oft nicht, was einen am Ende des Tunnels erwartet. So zeigen zum Beispiel die Aktien der Gilberti AG ein recht eigentümliches Verhalten:

Wie verhält sich der Kurs der Gilbertaktien im Vergleich zu seinem Anfangswert nach einer Laufzeit von mehr als Börsentagen?
Nimmt er zu, nimmt er ab oder bleibt er gleich? Erläutere die Antwort.

Aufgabe 8 - "Schwarzweiß" (5 Punkte)

Bei einem Spiel wird ein quadratisches Gitter mit schwarzen und weißen Steinen belegt, wobei auf jedes Feld genau ein Stein zu liegen kommt Am Ende des Spiels ist das Gitter mit gleichviel schwarzen und weißen Steinen belegt.
Paul hat vor jeder Zeile und unter jeder Spalte die Anzahl der schwarzen Steine notiert.

Zeichne das Gitter auf das Lösungsblatt und vervollständige die abgebildete Anordnung mit der richtigen Anzahl schwarzer und weißer Steine.

Aufgabe 9 - "Wischiwaschi" (10 Punkte)

Seit er Bus fahrt, hat sich der Fahrer über seinen Scheibenwischer nie den Kopf zerbrochen. Doch heute abend, im Gegenlicht der Scheinwerfer, wird er plötzlich neugierig: Was ist das eigentlich für eine Fläche, die beim Betrieb des Wischers vom Wischerblatt überstrichen wird?
Der Wischerarm ist ein Parallelogramm ABCD mit den festen Drehpunkten A und D.
Das Wischerblatt EF ist stets rechtwinklig zu CB. Sein Befestgungspunkt M halbiert sowohl BC als auch EF.
Der Winkel, welchen der Wischerarm mit der waagerechten Fensterkante bildet, variiert zwischen 30° und 150° .
Es ist BC = 10 cm, CD = 85 cm und EF- = 80 cm.
Die Scheibe ist eben.

Konstruiere die vom Wischerblatt überstrichene FIäche im Maßstab 1:10 und färbe sie ein.

Aufgabe 10 - "Musterlösung" (15 Punkte)

In seinem Schloß möchte Baron Münchhausen einen 2 m breiten Gang mit Platten belegen. Er denkt dabei an rechteckige Steinplatten von 1 m Breite und 2 m Länge.
Das Unternehmen Leonardo unterbreitet ihm seinen Katalog Fibonacci, in welchem alle möglichen Pflasterungen von 2m breiten Rechtecken verzeichnet sind.
Auf Seite 1 des Katalogs sieht man eine Möglichkeit für ein Rechteck des Formats 2x1 und die beiden Möglichkeiten für die Maße 2x2. Die drei möglichen Muster für das Format 2x3 findet man auf Seite 2.
Der Baron hat einen Weg gefunden, wie man bei vorgegebener Länge die Anzahl der möglichen Muster berechnen kann, ohne alle Zeichnungen machen zu müssen.

Erkläre die Rechenmethode des Barons und wende sie auf 2 m breite Gänge der Länge 4m, 5m und 6m an.

Aufgaben 11 bis 13 nur für Klasse 11

Aufgabe 11 - "Kabinettstück" (5 Punkte)

Als König Artus einen neuen Kammerherrn bestimmen wollte, rief er seine Ritter in die Schatzkammer.
"Seht dieses Schmuckstück aus elf aneinandergeschmiedeten Goldtalern. Jeder Taler trägt eine andere Zahl. Fertigt eine Kopie dieses Schmuckstücks an, aber verändert die Reihenfolge der Taler. Auf weiche Weise man auch immer die Kopie mit dem Original zur Deckung bringen mag, selbst mit der Rückseite nach oben, stets soll zumindest an einer Stelle die Zahl auf der Kopie mit der Zahl auf der darunterliegenden Originalmünze übereinstimmen.
Der erste, dem es gelingt, diese Aufgabe zu lösen, der soll mein Kammerherr sein."

Gib In einer Zeichnung eine Lösung an, weiche es einem der Ritter ermöglicht, des Königs Kammerherr zu werden.

Aufgabe 12 - "EU-Norm" (10 Punkte)

Die Abmessungen der Europafahne sind mathemaisch wie folgt festgelegt:
Das Emblem ist ein blaues Rechteck, dessen Längsseite a das Eineinhalbfache der Breite b beträgt.
Die Mittelpunkte der zwölf Sterne liegen in gleichem Abstand auf einem Kreis K, dessen Zentrum 0 im Schnittpunkt der Rechtecksdiagonalen liegt. Sein Radius ist 1/3 der Seite b.
K
1 und K2 sind die Umkreise zweier benachbarter Sterne, welche den Kreis K jeweils in zwei Punkten schneiden.
Ihr Radius beträgt 1/18 der Seite b.
Mit M bezeichnet man den Schnittpunkt von K
1 mit K, welcher K2 am nächsten liegt. N ist der Schnittpunkt von K2 mit K, welcher K1 am nächsten liegt

Berechne Winkel MON auf 0,1° genau.

Aufgabe 13 - "Is´ er fix ?" (15 Punkte)

Asterix wird in seinem Verlies langsam unruhig.
"Wo Obelix nur bleibt? In einer Viertelstunde wird mich der Centurio den Löwen zum Frühstück servieren. Wenn ich doch nur meinen Zaubertrank hätte!"
Genau in diesem Augenblick bemerkt Asterix in der Ferne ein winziges Etwas. Es ist Obelix, der sich auf das römische Lager zubewegt.
Asterix hat gute Augen. Auf 5m Abstand erkennt er noch ein Detail das nur 1,5 mm groß ist.

Wird Obelix seinem Freund Asterix noch rechtzeitig zu Hilfe kommen?
Begründe die Antwort.


Haupttermin 1996/97

Bei den Aufgaben 2,3,4,6,7 und 8 ist keine Erklärung verlangt. Bei den anderen Aufgaben muß die Lösung begründet werden.
Die Sorgfalt der Darstellung wird in die Bewertung einbezogen.
Für jede Aufgabe ist ein gesondertes Lösungsblatt zu verwenden
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Aufgabe 1 - "Chancengleichheit ?" (10 Punkte)

Bearbeite diese Aufgabe in Französisch, Englisch, Italienisch oder Spanisch (hier ist nur die englische Fassung wiedergegeben).

Peter put six cards down on the table. All of them have an identical back and on the other side they respectively show +1,+2,+3, -1, -2, -3.

Then Peter suggests his friend Paul the following game: They both simultaneously turn up one card. If the product of the two numbers is positive, Paul wins. If the product is negative Peter is the winner.

After a few games, Paul notices, that Peter is winning more often. So, in order to increase his chances of success, he proposes Peter to take off one card with a negative number and to start the game again with the five cards left.

Is Paul right ? Justify your answer.

Aufgabe 2 - "Überwacht" (5 Punkte)

Der abgebildete Plan zeigt den Ausstellungsraurn einer Gemäldegalerie. Zum Aufhängen der Bilder stehen 18 Wände zur Verfügung. Die Innenseite der schraffierten Bereiche kann nicht genutzt werden, wohl aber die Außenfläche.

Man verfügt über vier Überwachungskameras, welche jeweils an der Wand angebracht werden. Dabei sollen alle Wände überwacht werden. Außerdem soll jede Kamera durch mindestens eine der drei anderen beobachtbar sein.

Das Blickfeld einer Kamera entspricht auf dem Plan einem Winkel von maximal 135°, dessen Scheitel auf einer der Wände liegt. Drei der Kameras wurden in den Punkten A, B und C angebracht.

Zeichne den Plan des Ausstellungsraums im Maßstab 1:100 und bestimme die Position D der vierten Kamera.

Zeichne die Beobachtungsbereiche alter vier Kameras ein und schraffiere sie mit verschiedenen Farben.

Aufgabe 3 - "Zauberrahmen" (10 Punkte)

Claudia und Laetitia setzen aus vier Holzleisten einen Rahmen zusammen. Die Längsseiten der vier Leisten sind mit den Zahlen von 1 bis 16 nummeriert.

"Schau, das ist ein Zauberrahmen", sagt Claudia. "Die Summe der vier Zahlen auf jeder der Leisten ist immer 34."

Laatitia nimmt den Rahmen und legt ihn so vor sich hin, wie es auf der Abbildung zu sehen ist.

"Es kommt noch besser, meint sie nach einer Weile". "Wenn du die vier Zahlen auf der Oberseite oder die vier Zahlen auf der Unterseite addierst, erhältst du ebenfälls 34. Das gleiche gilt für die vier Zahlen der inneren und für die vier Zahlen der äußeren Seitenflächen. Immer ergibt sich als Summe 34."

Zeichne das abgebildete Netz auf das Antwortblatt und ergänze die fehlenden Zahlen.

Aufgabe 4 - "Philatelistisch" (5 Punkte)

Gérard besitzt Briefmarken, auf welchen die Werte 1 Franc, 2 Francs, 3 Francs, 4 Francs und 5 Francs aufgedruckt sind. Sechzehn dieser Marken hat er in einem quadratischen Gitter mit 4 x 4 Feldem so angeordnet, dass in keiner Zeile, in keiner Spalte, in keiner Diagonalen und auch in keiner Parallelen zu den Diagonalen zwei Marken von gleichem Wert zu finden sind. Der Gesamtwert der sechzehn Marken beträgt nicht mehr als 50 Francs.

Zeichne ein solches Gitter und trage eine mögliche Anordnung der sechzehn Marken ein.

Aufgabe 5 - "Einfältig" (10 Punkte)

Die genauen Maße eines rechteckigen Blattes Papier betragen 21 cm und 21*Wurzel(2) cm. Das Blatt wird ein Mal so gefaltet, dass zwei gegenüberliegende Ecken genau aufeinander kommen. Durch diese Faltung erhält man das Fünfeck ADFEB (siehe Abb.).

Berechne den genauen Flächeninhalt dieses Fünfecks.

Aufgabe 6 - "Laszlo´s cube" (5 Punkte)

Die Seitenflächen eines Würfels wurden jeweils in vier gleich große Quadrate zerlegt.

Mit Hiffe von drei verschiedenen Farben sollen die 24 Quadrate so eingefärbt werden, dass keine zwei Quadrate mit gemeinsamer Seite die gleiche Farbe besitzen.

Klebe das Netz eines so gefärbten Würfels auf das Antwortblatt.

Aufgabe 7 - "Auf Wickel" (10 Punkte)

Rantamplan, der Hofhund, liegt ausgestreckt in der Sonne und beobachtet die Küchentür. Mit seiner Leine ist er an der runden Einfassung des Ziehbrunnens festgemacht.

Als sich plötzlich Kater Tom über die Schwelle wagt, beginnt eine wilde Verfolgungsjagd. Tom immer der Mauer entlang, Rantamplan hinterher, wobei sich die gespannte Leine immer mehr um die Brunneneinfassung wickelt.

Der Hof, in dem sich die Jagd abspielt, ist quadratisch mit einer Seitenlänge von 20 m. Der Brunnen liegt genau in der Mitte und hat einen Außendurchmesser von 1,20 m. Die Leine ist 8 m lang und nicht elastisch.

Konstruiere im Maßstab 1:100 die Kurve, welche das bewegliche Ende der Hundeleine während der Verfolgungsjagd beschreibt.

Aufgabe 8 - "Nagelbrett" (5 Punkte)

Die Abbildung zeigt ein quadratisches Nagelbrett von 20 cm Seitenlänge. Die Nägel bilden ein quadratisches Gitter mit dem Gitterabstand 1 cm.

Um acht Nägel als Eckpunkte soll eine Schnur so gespannt worden, dass ein möglichst regelmäßiges Achteck entsteht.

Die Winkel dieses Achtecks sollen alle gleich sein und vier seiner Seiten sollen parallel zu den Kanten des Brettes verlaufen. Außerdem soll das Verhältnis zweier benachbarter Seiten möglichst nahe bei 1 liegen.

Markiere die Punkte des Gitters auf dem Antwortblatt und zeichne farbig das gesuchte Achteck ein

Aufgabe 9 - "Je pense" (10 Punkte)

In seinem Buch 'Die Geometrie' beschreibt René Descartes (1596 - 1650) ein Verfahren, mit welchem sich allein mit Zirkel und Lineal das Produkt zweier Längen konstruieren läßt:

"Sei zum Beispiel AB die Einheit und soll BD mit BC multipliziert werden, so verbinde man A mit C und zeichne DE parallel zu AC. Sodann ist BE das Produkt dieser Multiplikation."

1. Begründe das Verfahren von Descartes.

2. Bezüglich einer vorher gewählten Längeneinheit AB ist die Länge der abgebildeten Strecken x und y.

Lasse dich von Descartes Methode inspirieren und konstruiere eine Strecke der Länge y/x.

Aufgabe 10 - "Auf dem Kopf" (15 Punkte)

Nach einem feuchtfröhlichen Mahl muß der arme Kapitän Haddock eine gehörige Strafpredigt über sich ergehenlassen.

"Das geht wirklich zu weit!", schimpft Tim. Gestern war die Whiskyflasche noch voll und nun steht die Flüssigkeit nur noch 14 cm hoch."

"Hunderttausend heulende und jaulende Höllenhunde!", kontert der Kapitän, nachdem er die Flasche auf den Kopf gestellt hat. "Nach meiner Messung befindet sich der Flüssigkeitsspiegel genau 19 cm über dem Korken!"

Vom Boden bis zum unteren Ende des Korkens faßt die Flasche 0,76 Liter. Berechne, wieviel ml Whisky sich noch in der Flasche befinden.

Aufgaben 11 bis 13 nur für Klasse 11

Aufgabe 11 - "Zu früh" (5 Punkte)

Jeden Abend steigt Madame Dupont ins Auto, um ihren Mann vom Bahnhof abzuholen. Sie fährt stets zur gleichen Zeit los, fährt immer mit derselben Geschwindigkeit und ändert auch nie ihre Route. Sie kommt dann immer um 18.30 Uhr an, genau zu der Zeit, wenn ihr Mann den Bahnhof verläßt. Danach fahren die beiden sofort nach Hause, immer denselben Weg, immer mit derselben Geschwindigkeit.

Eines Tages jedoch nimmt Monsieur Dupont einen anderen Zug und verläßt den Bahnhof bereits um 18.10 Uhr.

Da seine Frau noch nicht da ist, geht er ihr zu Fuß entgegen. Sie treffen sich unterwegs und sind 10 Minuten ftüher als gewöhnlich zu Hause.

Wie lange war Monsieur Dupont zu Fuß unterwegs?

Aufgabe 12 - "Durchschnittlich" (10 Punkte)

In Nord- und Südpentagonion nehmen mehr als 1000 Klassen der Jahrgangsstufen 10 und 11 am Wettbewerb "Mathematik ohne Grenzen" teil.

Im Abschlußbericht wird erwähnt, dass eine der Aufgaben zu 10 Punkten in jedem der beiden Landesteile von der Jahrgangsstufe 10 besser als von der Jahrgangsstufe 11 gelöst wurde. Erstaunlicherweise erzielte jedoch die Jahrgangsstufe 11, bezogen auf ganz Pentagonien, bei dieser Aufgabe einen besseren Durchschnitt als die Jahrgangsstufe 10.

Zeige an einem Beispiel, daß dies tatsächlich möglich ist

Aufgabe 13 - "Esoterisch" (15 Punkte)

Unglücklicherweise ist die Kristallkugel von Frau Luna zu Bruch gegangen. Damit sie wieder in die Zukunft blicken kann benötigt sie eine Kugel mit gleichem Radius. Als sie die Bruchstücke vor Professor Bienlein ausbreitet, holt dieser ein Sphärometer aus dem Schrank.

Es handelt sich dabei um ein Gerät, mit dessen Hilfe der Radius einer Kugel berechnet worden kann - Der untere Teil besteht aus drei Beinen, deren Endpunkte ein gleichseitiges Dreieck von 9 cm Seitenlänge bilden. Der bewegliche Stab in der Mitte liegt auf einer Geraden, die durch den Schwerpunkt des Dreiecks verläuft und senkrecht auf der Dreiecksfläche steht.

Nachdem Professor Blenlein das Gerät so eingestellt hat, dass sowohl die drei Beine als auch der Stab in der Mitte die Kugeloberfläche berühren, liest er an der Skala ab, dass das untere Ende des Stabes einen Abstand von 2 cm zur Dreiecksfläche hat.

Berechne den Radius der Kristallkugel und sage die Zukunft voraus.

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Verantwortlich für diese Seite : StD Alfred Stepan , Kant-Gymnasium Karlsruhe
Stand: 15.1.1998