Das Gefängnis von König Primostenes

König Primostenes hat ein Gefängnis mit 100 Zellen, das von seinen 100 Wächtern bewacht wird. An jedem Freitag, dem 13., gewährt der König in seiner übergroßen Güte seinen Gefangenen eine Gnade: alle 100 Wärter gehen – bei Nummer 1 beginnend – an allen Zellen vorbei, wobei

- der 1. Wärter alle Zellentüren aufschließt

- der 2. Wärter jede 2. Türe – außer der Tür Nr. 2 – wieder zuschließt,

- der 3. Wärter jede 3. Türe – außer der Tür Nr. 3 – wieder zuschließt,

- der 4. Wärter jede 4. Türe – außer der Tür Nr. 4 – wieder zuschließt,

u. s. w.

(Wenn ein Wärter dabei auf eine Zelle trifft, die schon wieder verschlossen ist, lässt er die Zelle verschlossen)

Alle Gefangenen, deren Tür offen geblieben ist, werden frei gelassen, die anderen dürfen sich eine neue Zelle aussuchen.

Welche Zellennummern würdest Du wählen?

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

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28

29

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31

32

33

34

35

36

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39

40

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42

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44

45

46

47

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49

5

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

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67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

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78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

 

a) Günstige Zellen sind: _______________________________________________________

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b) Welche der 100 Wärter müssen keine Zelle zuschließen – sind also entbehrlich?

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Zusatzaufgabe: Welche Gefangenen werden frei, wenn der 1. Wärter alle Zellen aufschließt, der 2. jede 2. Zelle wieder zuschließt, der 3. Wärter jede 3. Zelle aufschließt, falls sie geschlossen war und zuschließt, falls sie geöffnet war und jeder folgende Wärter entsprechend verfährt?

Lösung der Zusatzaufgabe:

Es kommen die Gefangenen aus den Zellen mit Quadratzahlnummern frei.

Begründung.

Primzahl-Zerlegung einer Zahl, z.B.:

d.h. im 2er-Durchgang zu

im 4er-Durchgang auf

im 8er-Durchgang zu

im 16er-Durchgang auf

 

im7er-Durchgang zu

im 49er-Durchgang auf

 

Wenn jeder Primzahlfaktor im Produkt in einer geraden Anzahl vorkommt, ist nach dem entsprechenden Durchgang die Zelle auf. Gerade Anzahl bei jedem Primzahlfaktor liegt aber genau dann vor, wenn es sich um eine Quadratzahl handelt.

 

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